Se puede usar [matemática] E = \ frac {1} {2} k (\ Delta x) ^ 2 = \ delta mc ^ 2 [/ matemática] para averiguar el aumento de masa de un resorte ideal (de masa insignificante en su longitud natural) cuando está comprimido. La respuesta de Todd Gardiner da una estimación para eso. Necesitaría cantidades de compresión no físicas para causar un aumento apreciable de la masa del resorte.
De ahora en adelante, estableceré [math] c = 1 [/ math] para que la notación sea menos engorrosa. Se puede restaurar mediante análisis dimensional, siempre que sea necesario.
La pregunta que fue más interesante para mí fue: ¿esta medida de energía covariante bajo el cambio de los marcos de referencia? Déjame elaborar. Sabemos que las compresiones serán diferentes en diferentes marcos de referencia (debido a la contracción de Lorentz). Ahora, parece que la energía debería escalar como un cuadrado de la compresión, y la compresión [matemática] \ Delta x [/ matemática] se transforma linealmente a medida que nos movemos de un marco inercial a otro. En otro marco de referencia que se mueve con una velocidad constante [matemática] \ vec {v} [/ matemática] (paralela al resorte) con respecto al lugar donde el resorte está en reposo, la compresión es
[matemáticas] \ Delta x ^ {‘} = \ Delta x / \ gamma [/ matemáticas]
en términos de [math] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ 2}} [/ math].
Pero, en la relatividad especial, la energía se transforma como el componente temporal de los cuatro vectores de energía-momento [matemática] (E, \ vec {P}) [/ matemática], por lo que la escala debería ser lineal.
[matemáticas] E ^ {‘} = \ gamma (E- v P) = \ gamma E [/ matemáticas],
donde [matemática] P [/ matemática] es el impulso del resorte, cero en su marco de descanso. Entonces, tenemos una aparente contradicción al tratar de extender la definición de energía de resorte a la relatividad especial.
Ahora, ¿podemos hacer que los dos sean consistentes, si suponemos que la constante del resorte cambia cuando el resorte comienza a moverse? Incluso antes de eso, respondamos una pregunta importante, ¿cómo exactamente deberíamos definir la energía de compresión del resorte en el marco móvil? Creo que una buena definición para usar es [matemáticas] E ^ {‘} = \ frac {1} {2} k ^ {‘} (\ Delta x ^ {‘}) ^ 2 = \ delta m ^ {‘} [ / matemática], porque si el resorte no se comprimiera, tanto su energía como su impulso habrían sido insignificantes (ya que asumimos una masa de reposo infinitesimal para el resorte sin comprimir). Probé algunas alternativas a esto, pero me encontré con contradicciones.
Al aceptar esta definición, vemos que la ecuación de transformación estándar de Lorentz [matemáticas] E ^ {‘} = \ gamma E [/ matemáticas] nos da
[matemáticas] \ delta m ^ {‘} = \ gamma \ delta m [/ matemáticas].
Esto implica que
[matemáticas] \ frac {1} {2} k ^ {‘} (\ Delta x ^ {‘}) ^ 2 = \ gamma \ frac {1} {2} k (\ Delta x) ^ 2 [/ matemáticas]
Usando la relación [matemáticas] \ Delta x ^ {‘} = \ Delta x / \ gamma [/ matemáticas], encontramos que
[matemáticas] k ^ {‘} = \ gamma ^ {3} k [/ matemáticas]
¿Hay alguna razón por la cual la constante del resorte debería cambiar así si el resorte comienza a moverse? Puedo proporcionar un argumento heurístico sobre cómo puede cambiar. (El siguiente párrafo es realmente un saludo manual).
En el marco de referencia donde se mueve el resorte, no solo cambia la compresión, sino que también cambia la longitud original del resorte. Ahora, es bastante sencillo mostrar que si un resorte ideal de resorte constante k se corta en N partes iguales, entonces el resorte constante para cada parte es Nk. Si suponemos que un resorte sin comprimir permanece sin comprimir incluso cuando se mueve con cierta velocidad (lo que para mí parece una suposición bastante razonable), entonces la contracción de la longitud sin comprimir por [math] \ gamma [/ math] implica que la constante del resorte sube por [math] \ gamma [/ math]. Pero eso todavía no tiene en cuenta el factor de [matemáticas] \ gamma ^ 3 [/ matemáticas].
Por lo tanto, me inclino a pensar que la energía de primavera es un concepto no relativista. Sin embargo, he hecho muchas suposiciones (que algunos pueden encontrar escandalosas) y he definido cantidades de una manera que tiene sentido para mí. Invitaría comentarios y sugerencias, y me encantaría encontrar un mejor enfoque para este problema.
Gracias por el A2A. Encontré esta pregunta bastante interesante.
