Aquí hay dos curvaturas: la curvatura intrínseca de 4 dimensiones y la curvatura extrínseca de 3 dimensiones, que depende del corte. En cosmología, cuando la gente dice “el universo se ve plano”, están hablando de la curvatura 3 en un corte preferido . Dentro de un espacio-tiempo de De Sitter, resulta que no hay un corte preferido, y en realidad puede elegir cortes con curvatura positiva, negativa o cero. Siga leyendo para más detalles …
En general, un espacio-tiempo se puede dividir (foliar) de varias maneras: 
Aquí esto se representa en un diagrama de espacio-tiempo (con dos direcciones espaciales suprimidas). Este espacio-tiempo se puede cortar a lo largo de superficies de t constante (líneas discontinuas en la parte inferior) o superficies de constante τ (líneas punteadas en la parte superior), y de muchas otras maneras. La restricción es que desea que cada corte esté en todas partes en forma de espacio (en este diagrama, la pendiente de una superficie nunca puede exceder + -45 grados) [1]. Una vez que realice este corte, hay dos curvaturas: la curvatura intrínseca de 4 dimensiones del espacio-tiempo y la curvatura extrínseca de 3 dimensiones que viven en rodajas.
En cosmología, generalmente trabajamos con la métrica FLRW, que tiene 3 superficies que son homogéneas e isotrópicas. Esto proporciona una división natural o preferida del espacio-tiempo que respeta la simetría subyacente. En este corte natural, observamos que nuestro universo es espacialmente plano, lo que significa que la curvatura extrínseca se desvanece.
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Ahora, un espacio de Sitter es extremadamente especial. Es un espacio máximo simétrico, lo que significa que hay tantas simetrías como sea posible para el espacio-tiempo (4 traducciones, 3 rotaciones y 3 “potenciadores”). En algunos aspectos, esto es mucho mejor que FLRW, pero también significa que no hay un corte “natural”. De hecho, puede cortar De Sitter con superficies de curvatura positiva, negativa o cero.
El más simple de ver es en realidad el corte positivo. La forma más fácil de construir el espacio d-dimensional de Sitter es pensarlo como un hiperboloide de 1 hoja incrustado en un espacio Mikowski d + 1 dimensional. Aquí suprimo un montón de dimensiones para ilustrar: 
La lámina hiperbólica tiene una geometría inducida que es el espacio de Sitter. Ahora, es fácil ver que puede cortar este hiperboloide en rebanadas “t” constantes en este mismo diagrama. Cada corte es en sí mismo un espacio máximo simétrico … de hecho, es solo una esfera de dimensión d-1. Este corte tiene una curvatura positiva.
Los otros son un poco más difíciles de ver, pero al menos puedes tener una idea aproximada. 
Se supone que esto es representativo del corte hiperbólico en De Sitter (aunque esto realmente debería hacerse en un diagrama conforme). La línea discontinua es el cono de luz, y las líneas punteadas son láminas hiperbólicas que están en todas partes en forma de espacio [2]. El corte hiperbólico tiene una curvatura negativa.
También es posible un corte plano. Si desea todos los detalles sangrientos, vea estas notas de Les Houches.
En este momento, parece que nuestro universo será asintóticamente de Sitter en un futuro lejano. Sin embargo, mantendrá un corte preferido: superficies de temperatura CMB constante. Y hasta donde sugieren los datos experimentales, esos cortes son planos.
PS especulativo y técnico. Mi comprensión aproximada de por qué puede elegir cualquier corte en De Sitter es la siguiente: comience en un pequeño parche con una superficie de espacio similar a un espacio descrito por una forma cuadrática isotrópica (que puede ser positiva, plana o negativa). Intenta extender al máximo esta superficie a través del espacio-tiempo, manteniendo constante la forma cuadrática (la métrica inducida) a lo largo de la superficie. En un espacio-tiempo general esto no es posible. En un espacio máximo simétrico, creo que se cumplen las condiciones de integrabilidad (ver el teorema de Frobenius) para extender esta superficie.
[1] Por supuesto, podría elegir otra descomposición, pero si desea tener un buen problema de valor inicial, entonces necesita superficies parecidas a un espacio en todas partes. Si desea describir todo el espacio-tiempo, en realidad desea una superficie Cauchy, que es más restringida.
[2] Estas rodajas hiperbólicas no son superficies Cauchy.
