No sé nada acerca de las aplicaciones físicas de las condiciones de estabilidad de Bridgeland, pero aquí hay una explicación intuitiva de una forma en que se usan en geometría algebraica: dan compactaciones alternativas de espacios de módulos.
Moduli espacios. Un espacio de módulo es un objeto geométrico que parametriza ciertos tipos de objetos geométricos. Para algunos ejemplos, hay
- El espacio de módulos de las curvas [matemáticas] M_g [/ matemáticas], que parametriza las clases de isomorfismo de las curvas del género [matemáticas] g [/ matemáticas]. Alternativamente, este es el espacio de módulo de las superficies de Riemann del género [matemáticas] g [/ matemáticas], o de estructuras complejas en una superficie lisa fija del género [matemáticas] g [/ matemáticas]. Si esto no le resulta familiar, en cierto sentido parametriza todas las rosquillas posibles [matemáticas] g [/ matemáticas]:
Una curva de género [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. (Crédito: Wikipedia) - El espacio de módulo de curvas marcadas [matemática] M_ {g, n} [/ matemática], que parametriza las clases de curvas de isomorfismo junto con [matemática] n [/ matemática] distintos puntos marcados ordenados.
- El esquema de Hilbert de configuraciones de [math] n [/ math] puntos en una variedad fija.
- El espacio de módulos de las clases de isomorfismo de paquetes de vectores (estables) en una variedad [matemática] X [/ matemática] con invariantes numéricos fijos.
Una de las formas clásicas de construir espacios de módulo es a través de la Teoría Geométrica Invariante (GIT). Aproximadamente, para construir un espacio de módulo usando GIT, configura un espacio grande [math] \ mathcal X [/ math] llevando una acción de un grupo [math] G [/ math], de modo que el espacio de módulo que está buscando “debería ser” el espacio de la órbita [matemática] \ matemática X / G [/ matemática].
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Por ejemplo, considere el espacio de módulo [matemáticas] M_ {0,4} [/ matemáticas]. Esto debería parametrizar las colecciones ordenadas de 4 puntos en [math] \ mathbb {P} ^ 1 [/ math] (la esfera de Riemann), con dos colecciones ordenadas consideradas iguales si hay un automorfismo de [math] \ mathbb {P } ^ 1 [/ math] intercambiando las colecciones de puntos. Podemos formar intuitivamente el espacio de módulo [matemáticas] M_ {0,4} [/ matemáticas] como el cociente
[matemáticas] ((\ mathbb {P} ^ 1) ^ 4 – \ Delta) / PGL (2). [/ matemáticas]
Aquí [math] \ Delta \ subset (\ mathbb {P} ^ 1) ^ 4 [/ math] es el lugar geométrico de los cuádruples de puntos con dos entradas iguales.
Compactaciones. En geometría algebraica, es increíblemente importante que los espacios con los que trabajamos sean compactos. Los 4 espacios de módulos de ejemplo que he planteado son problemáticos, ya que generalmente no son compactos. Por ejemplo, en [matemáticas] M_ {0,4} [/ matemáticas], si dos de los 4 puntos chocan entre sí, “dejamos el espacio” en el que estamos trabajando.
GIT es la forma estándar de solucionar este problema. Hablando en términos generales, GIT dice que si estamos dispuestos a que nuestro espacio de módulos no parametrice algunos objetos “malos” (los no semiestables ), entonces podemos encontrar una variedad proyectiva que está “cerca” del espacio de la órbita [matemática] \ matemática X / G [/ matemáticas].
Esto es delicado, sin embargo. Existen ciertas opciones no canónicas cuando se aplica GIT, y el cociente resultante puede cambiar , y lo hace , en función de estas opciones. Los conjuntos de objetos semiestables cambian, y podemos decir que tenemos diferentes “condiciones de estabilidad GIT” correspondientes a los parámetros del problema GIT. Obtenemos compactaciones interesantes y diferentes de nuestros espacios de módulos variando estos parámetros.
Condiciones de estabilidad de Bridgeland. Las condiciones de estabilidad de Bridgeland surgen cuando desea observar las posibles compactaciones alternativas de un espacio de módulos de paquetes de vectores (caso 4 anterior) de una variedad [matemática] X [/ matemática]. Clásicamente, si arreglas un divisor amplio [matemático] H [/ matemático] en [matemático] X [/ matemático], entonces para un conjunto dado de invariantes numéricos (los valores de las clases de Chern ) hay un espacio de módulo (proyectivo) [math] M_H [/ math] parametrizando [math] H [/ math] – Gavillas semiestables Gieseker. Aquí “[math] H [/ math] -Gieseker semistability” es una condición de estabilidad que se cae de una aplicación de GIT.
Las condiciones de estabilidad de Bridgeland son una generalización leve de las condiciones de estabilidad de Gieseker derivadas de GIT. Para una condición de estabilidad dada de Bridgeland [math] \ sigma [/ math], hay un conjunto de objetos semiestables [math] \ sigma [/ math] y un espacio de módulo correspondiente [math] M_ \ sigma [/ math] parametrización Clases de isomorfismo de objetos matemáticos [math] \ sigma [/ math]. En muchos casos, se sabe que estos espacios de módulo son proyectivos. Por lo general, dan interesantes compactaciones alternativas del espacio de módulos de los paquetes de vectores.
Investigaciones recientes muestran que, en muchos casos, la geometría biracional de un espacio de módulos de poleas está completamente controlada por las condiciones de estabilidad de Bridgeland. Empíricamente (digamos para [math] X = \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] o una superficie K3), cada modelo biracional de un espacio de módulos de haces de vectores que se muestra en el Programa Modelo Mínimo es en realidad un espacio de módulos de Bridgeland objetos estables. Podemos entender la totalidad de la geometría biracional del espacio de módulos mediante la comprensión de los espacios de módulos de Bridgeland relacionados.
