Muchas teorías, principalmente el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann, no son demostrables porque no son deterministas.
Esto es algo bastante extraño por varias razones. ¡Obviamente, existe el pequeño problema de que el teorema de los números primos ya se probó hace más de cien años! Más allá de eso, no tiene sentido que ninguna de las afirmaciones sea “no determinista”. Ahora, sí, es teóricamente posible que la hipótesis de Riemann no sea demostrable [1], pero nunca he visto ninguna razón para sospechar eso y casi todos creen que es demostrable y verdadera.
Hay áreas de fenómenos matemáticos que están tan abrumadoramente respaldadas por evidencia que es simplemente una tontería exigir una prueba. Por ejemplo, la conjetura de Legendre
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Conocemos varias afirmaciones en la misma línea que la conjetura de Legendre que son falsas pero donde el primer contraejemplo es tan incomprensiblemente grande que nunca podría encontrarlo a través de la búsqueda de fuerza bruta. Si comenzamos a suponer que cada resultado que es verdadero para n <10 ^ 100 se cumple para todos n, definitivamente estaríamos introduciendo inconsistencias, y el problema sobre el razonamiento de una declaración inconsistente es que seguramente terminarás haciendo declaraciones falsas sobre números mucho más pequeños eventualmente.
Además, a nadie le importa si los resultados como la conjetura de Legendre son ciertos . Incluso si tuviera, digamos, una nota firmada de Dios de que la conjetura era cierta, no valdría mucho. El punto es entender por qué es verdad.
Si tiene predilección por las matemáticas y desea tener una vida productiva que marque la diferencia en el mundo más allá de una torre de marfil, lo más probable es que elija un campo aplicado, como la ciencia computacional o la ingeniería eléctrica.
Trajiste la criptografía de curva elíptica arriba. Las personas que primero estudiaron las curvas elípticas ciertamente no tenían en mente las aplicaciones del mundo real; fueron estudiados porque quedó claro que podían usarse para comprender algo más simple. Si la gente adoptara el enfoque pragmático de gratificación instantánea de las matemáticas que ha descrito aquí, nunca se habrían descubierto. Para el caso, nunca habríamos desarrollado la teoría de números en absoluto, el campo desarrollado durante más de dos mil años antes de que tuviera su primera aplicación práctica, lo que significa que nunca habríamos desarrollado el tipo de criptografía que permite una comunicación segura a través de Internet .
Del mismo modo, si la gente no hubiera pasado dos mil años jugando con la pregunta completamente inútil de si el quinto postulado de Euclides podría derivarse de los otros cuatro, nunca hubiéramos descubierto la geometría no euclidiana. Como tal, los antecedentes matemáticos necesarios no habrían estado allí para que Einstein hiciera sus descubrimientos sobre la forma del universo.
De hecho, sin tres o cuatro mil años de estudio del tema de la astronomía absolutamente inútil, el trabajo de Copérnico y Kepler no habría estado disponible para Newton, quien a su vez no habría podido descubrir la gravedad. No estoy seguro de querer contemplar cómo sería el mundo moderno hoy, pero no sería uno en el que quisiera vivir.
[1] ¿Cómo puede ser imposible demostrar una afirmación como la hipótesis de Riemann? Bueno, cuando tomas algunos axiomas para describir algo, a menudo te encontrarás con la situación de que los axiomas no especifican de manera única un objeto en particular. Por ejemplo, los axiomas grupales no especifican de manera exclusiva un grupo en particular, sino que existen múltiples grupos diferentes que satisfacen los axiomas grupales. Del mismo modo, nuestros axiomas para la teoría de conjuntos (es decir, ZFC) no especifican de manera única una categoría particular de conjuntos; más bien, hay varias categorías no isomórficas que satisfacen los axiomas de ZFC. Por lo general, estas cosas se comportan de manera lo suficientemente similar como para que la respuesta a cualquier pregunta que nos interese sea la misma en todas ellas, pero hay algunas preguntas que suenan bastante naturales y que tienen respuestas diferentes en el modelo de ZFC que en otras. Por supuesto, cuando nos enfrentamos a una declaración, obviamente no podemos demostrar que es verdad o falso a partir de los axiomas de ZFC.
El recuento primo real por intervalo cuadrático versus la “línea asintótica”. 
La desviación entre el recuento real y el derivado de registro para cada intervalo. 
Una pequeña trama de la primera expansión temprana. 
La linealidad del patrón de crecimiento para el recuento primo y el tamaño del intervalo. 
No es necesario invocar la hipótesis de Riemann para refinar el término de error. porque el crecimiento del número primo lo eclipsa. Para números “pequeños”, los datos computarizados empíricos son pan comido (cualquier programa pequeño puede generar datos de hasta 10 ^ 8 muy rápidamente). Para números más grandes, podemos usar datos que usen potencia computacional sin procesar de hasta 10 ^ 25 en la actualidad. Más allá de esto, tenemos pruebas rigurosas que utilizan la continuación analítica sin la HR. 