Al principio, la mecánica clásica y cuántica parece muy diferente porque en la mecánica clásica resolvemos las trayectorias de las partículas, mientras que en la mecánica cuántica resolvemos la evolución de una función de onda. Pero hay dos formas en que la mecánica clásica y la mecánica cuántica pueden hacerse más análogas.
La primera es la imagen de Heisenberg. La imagen de Heisenberg contrasta con la imagen de Schrödinger, que es más familiar para los estudiantes universitarios de mecánica cuántica. En la imagen de Heisenberg no resolvemos la evolución temporal de una función de onda. En cambio, son los operadores los que evolucionan en el tiempo mientras se considera que el estado permanece fijo. Por ejemplo, para una partícula cuántica con hamiltoniana
[matemáticas] \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} ^ 2} {2m} + \ hat {V} [/ math]
podemos derivar las ecuaciones de movimiento
[matemáticas] \ frac {d \ hat {\ mathbf {x}}} {dt} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}}} {m} [/ math]
[matemáticas] \ frac {d \ hat {\ mathbf {p}}} {dt} = – \ nabla \ hat {V} [/ math] [1]
de donde se desprende inmediatamente la relación correspondiente entre los valores esperados,
[matemáticas] \ frac {d \ langle \ mathbf {x} \ rangle} {dt} = \ frac {\ langle \ mathbf {p} \ rangle} {m} [/ math]
[matemáticas] \ frac {d \ langle \ mathbf {p} \ rangle} {dt} = – \ langle \ nabla V \ rangle [/ math]
En el límite clásico, simplemente podemos reemplazar los valores esperados por las variables clásicas, ya que la incertidumbre se vuelve insignificante, y recuperamos las ecuaciones clásicas familiares de movimiento.
[matemáticas] \ frac {d \ mathbf {x}} {dt} = \ frac {\ mathbf {p}} {m} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} = – \ nabla V [/ matemáticas]
Entonces, en la imagen de Heisenberg, las ecuaciones cuánticas de movimiento se parecen mucho a las clásicas; ¡solo contienen operadores en lugar de variables clásicas!
De hecho, la ecuación de movimiento general de Heisenberg para una [matemática] A [/ matemática] observable que carece de dependencia explícita del tiempo [2] es
[matemáticas] \ frac {d \ hat {A}} {dt} = \ frac {[\ hat {A}, \ hat {H}]} {i \ hbar} [/ math]
que se asemeja mucho a la ecuación clásica de movimiento para un observable en mecánica hamiltoniana usando el soporte de Poisson,
[matemáticas] \ frac {dA} {dt} = \ {A, H \} [/ matemáticas]
De hecho, esta analogía entre los corchetes de Poisson y los conmutadores cuánticos, donde [matemáticas] [\ hat {A}, \ hat {B}] [/ math] corresponde a [math] i \ hbar \ {A, B \} [/ math ] —Fue uno de los principios que guiaron el desarrollo de Dirac de la teoría cuántica, aunque ahora se sabe que no es exacto.
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La segunda forma en que se puede observar la analogía entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica involucra la imagen familiar de Schrödinger en la mecánica cuántica, pero una formulación quizás desconocida de la mecánica clásica que utiliza la ecuación de Hamilton-Jacobi. Esta es una formulación clásica de mecánica que utiliza una especie de función de onda para describir partículas. Esto se desarrolla en detalle en la sección “Interpretaciones de la función de onda” de la Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai. En mi edición, está en las páginas 102-103. Para resumir, considere la fase de la función de onda de Schrödinger en la base de posición. Es decir, escriba la función de onda en la forma
[matemáticas] \ psi (\ mathbf {x}) = k (\ mathbf {x}) \ exp (iS (\ mathbf {x}) / \ hbar) [/ math]
donde [math] k [/ math] es real y no negativo. Si sustituimos esta expresión por [math] \ psi [/ math] en la ecuación de Schrödinger, nuevamente con un hamiltoniano de la forma [math] \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} ^ 2 } {2m} + \ hat {V} [/ math] y mantenemos solo los términos de orden más bajo en [math] \ hbar [/ math] y terminamos con
[matemáticas] \ frac {1} {2m} \ | \ nabla S \ | ^ 2 + V + \ frac {\ partial S} {\ partial t} = 0 [/ math]
que es precisamente la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi si identificamos [matemáticas] S [/ matemáticas] con la función principal de Hamilton. Como tomamos el orden más bajo en [math] \ hbar [/ math] esperamos que la ecuación de Hamilton-Jacobi se cumpla con precisión en el límite como [math] \ hbar \ a 0 [/ math]. Por lo tanto, existe una analogía entre la fase de la función de onda mecánica cuántica y la acción clásica en la carcasa,
fase ~ [matemáticas] iS / \ hbar [/ matemáticas]
Esto también está relacionado con la suposición básica de la formulación integral de la trayectoria de la mecánica cuántica, que es que [matemáticas] iS / \ hbar [/ matemáticas] es de hecho la cantidad de cambio de fase que una partícula recoge cuando viaja a lo largo de una ruta posible desde un punto a otro, donde [matemáticas] S [/ matemáticas] es la acción clásica para ese camino.
[1] Tenga en cuenta que ambas son ecuaciones de operador. En particular, [math] \ nabla V [/ math] realmente representa el operador con valor vectorial [math] \ int | x \ rangle \ nabla V (x) \ langle x | \, dx [/ math].
[2] La mayoría de los observables de interés entran en esta categoría, [math] \ hat {\ mathbf {x}} [/ math] y [math] \ hat {\ mathbf {p}} [/ math] incluido. Además, esta ecuación también tiene otra condición, que es que [matemática] H [/ matemática] conmuta consigo misma en tiempos futuros. Esto ciertamente se cumple en el caso habitual en el que [matemáticas] H [/ matemáticas] también carece de dependencia explícita del tiempo.
