¿Cómo se justifica la interpretación del hamiltoniano?

Históricamente, el formalismo hamiltoniano se desarrolló después del formalismo lagrangiano, y el primero fue de hecho una reformulación del segundo. Es fácil demostrar (y de hecho, se muestra en la mayoría de los cursos avanzados de mecánica clásica y libros de texto) que la mecánica hamiltoniana es matemáticamente equivalente a la mecánica lagrangiana. Esto significa que, dado cualquier sistema clásico, los formalismos lagrangiano y hamiltoniano darán exactamente las mismas predicciones.

Debido a esto, no hay razón para que la mecánica hamiltoniana deba ser “justificada” independientemente de la mecánica lagrangiana; cualquier justificación para la mecánica lagrangiana es también una justificación para la mecánica hamiltoniana, y viceversa. En particular, la justificación del principio de acción estacionaria (que también se conoce como el principio de Hamilton , casualmente …) es una justificación perfectamente buena para la mecánica lagrangiana y hamiltoniana.

Sin embargo, el formalismo hamiltoniano puede, de hecho, justificarse de manera completamente independiente. En primer lugar, al menos formalmente , la función hamiltoniana es el generador de la traducción del tiempo y, por lo tanto, proporciona la energía total del sistema. Sin embargo, hay mucho más que eso.

La mecánica hamiltoniana tiene una estructura matemática mucho más rica, que es lo que la hace tan útil. Desde una perspectiva geométrica, el formalismo hamiltoniano utiliza el espacio de fase , que generalmente es el paquete cotangente sobre el espacio de posición utilizado en el formalismo lagrangiano. La imagen del espacio de fases da lugar a muchos teoremas y resultados interesantes y tiene aplicaciones en todos los campos de la física. En particular, la mecánica cuántica no podría haber existido sin ella.

Intenta ver qué hace la transformación Legendre. Su intuición exige que el hamiltoniano esté conectado a algún principio fundamental, la forma en que el lagrangiano emerge del principio de menor acción, pero debe tratar de reconocer que el hamiltoniano no es más que el lagrangiano transformado de cierta manera para facilitar su manipulación con Ciertas técnicas matemáticas. El propio Lagrangiano carece de interpretación física y es solo una construcción matemática. Sin embargo, mientras Lagrangian le ofrece ecuaciones diferenciales de segundo orden, Hamiltonian produce sistemas acoplados de primer orden. La cuantización y la manipulación del operador en QM es mucho más fácil de entender usando Hamiltonianos que con Lagrangianos, como en el enfoque integral de ruta. Además, el formalismo hamiltoniano es matemáticamente mucho más rico que el lagrangiano y abre una amplia gama de maquinaria matemática para usar, por ejemplo, geometría diferencial, álgebras de Lie y brackets de Poisson, etc., que encuentra un gran uso en QM y QFT, y también en avanzados mecanica clasica.