Cada modo tiene su propia energía de punto cero.
Cada vector de onda, [math] {k} [/ math], de un campo cuántico tiene su propia energía de punto cero:
[matemáticas] E_ {0 \, {k}} = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega _ {{k}} [/ matemáticas] donde
[matemáticas] \ omega _ {{k}} ^ 2 = \ frac {m ^ 2c ^ 4} {\ hbar ^ 2} + {k} ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora, cada campo cuántico tiene todas las longitudes de onda disponibles, al menos si la invariancia de Lorentz es una propiedad de la naturaleza (que es lo mejor de nuestro conocimiento. Esto significa que cada campo cuántico tiene una densidad de energía de punto cero, [matemáticas] \ rho_0 [/ matemáticas], de
[math] \ rho_0 = \ hbar ^ 4 \ int d ^ 3 k \ omega _ {{k}} [/ math] observe que esto está dominado por grandes vectores de onda, o longitudes de onda cortas, y si cortamos artificialmente esta integral en un vector de onda [matemáticas] k _ {\ text {max}} [/ matemáticas] entonces encontramos
[matemáticas] \ rho_0 \ sim (\ hbar k _ {\ text {max}}) ^ 4 [/ matemáticas] una agradable divergencia cuártica saludable, que es lo que debe esperar del análisis dimensional.
- Dado que [matemáticas] \ langle j | A \ rangle = \ sum \ limits_ {i} \ alpha_ {i} \ langle j | i \ rangle [/ math], ¿qué significa que [matemáticas] \ langle j | i \ rangle = \ delta_ {ij} [/ math], y ¿cómo colapsa esto la ecuación en [math] \ langle j | A \ rangle = \ alpha_ {j} [/ math]?
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Cada modo de la teoría del campo cuántico da lugar a esta divergencia, por lo que las copias N de un bosón darán lugar a N veces esto. Un vector de Lorentz tiene 4 componentes (estos están fuera de la concha, por lo que los 4 componentes contribuyen, en lugar de solo los 2 componentes en la concha).
Una cosa a tener en cuenta es que los fermiones dan una contribución negativa debido a las [matemáticas] (- 1) ^ F [/ matemáticas] que provienen de las estadísticas fermiónicas. Si el número de modos fermiónicos es exactamente igual al número de modos bosónicos, entonces esta divergencia cuártica desaparece. Esto es lo que sucede en la supersimetría. Ahora la supersimetría puede resolver la divergencia cuártica, pero deja una contribución finita proporcional a la masa de las superpartículas, [math] m _ {\ text {susy}} [/ math], a la cuarta potencia:
[matemática] \ rho_0 \ sim m _ {\ text {susy}} ^ 4 [/ matemática] Dado que las superpartículas tienen que tener al menos 1 TeV en masa y esta energía de vacío de punto cero tiene que ser inferior a 1 meV, esto da lugar a una [matemática] 10 ^ {60} [/ matemática] diferencia de tamaño.