Para comprender todos estos números, puede ser útil descomponer el tensor de Riemann en varias piezas. El primer paso es la descomposición de Weyl, que divide a Riemann en las partes hechas del escalar Ricci, el tensor Ricci sin trazas y el tensor Weyl (el tensor Weyl, C, no tiene trazas en ningún par de índices):
[matemáticas] R ^ {ab} {} _ {cd} = C ^ {ab} {} _ {cd} +2 \ delta ^ {[a} {} _ {[c} R ^ {b]} {} _ {d]} – \ frac {1} {3} \ delta ^ {[a} {} _ {[c} \ delta ^ {b]} {} _ {d]} R. [/ math]
Vamos a contar los grados de libertad. Hay 1 número en el escalar Ricci. En 4 dimensiones, hay 10 números en el tensor de Ricci (porque es simétrico), por lo que hay 9 números en la parte sin trazas del tensor de Ricci. Luego, en 4 dimensiones, quedan 10 números para el tensor de Weyl.
A partir de las ecuaciones de Einstein, [matemáticas] R_ {ab} = 8 \ pi T_ {ab} [/ matemáticas], sabemos que las partes de Ricci están completamente controladas por lo que esté sucediendo en el tensor de energía de estrés, es decir, lo que sea que esté sucediendo. . Los grados gravitacionales de libertad, por lo tanto, quedan en el tensor de Weyl.
Podemos comprender mejor los grados de libertad en el tensor de Weyl dividiéndolo de una manera dependiente del observador. Digamos que un observador tiene una línea mundial con el vector tangente [math] u ^ a [/ math]. Luego, los 10 grados de libertad que quedan en Weyl se pueden dividir en piezas “eléctricas” (paridad par) y “magnéticas” (paridad-impar):
[matemáticas] E_ {ab} \ equiv C_ {acbd} u ^ cu ^ d [/ matemáticas]
[matemáticas] B_ {ab} \ equiv {} ^ * C_ {acbd} u ^ cu ^ d = \ frac {1} {2} \ epsilon_ {ac} {} ^ {ef} C_ {efbd} u ^ cu ^ d. [/ matemáticas]
A partir de las simetrías, puede decir que tanto [math] E_ {ab} [/ math] como [math] B_ {ab} [/ math] son tensores simétricos y sin trazas [1] en secciones espaciales dimensionales (n-1) . Esto significa que cada uno tiene 5 grados de libertad cuando están en 4 dimensiones espacio-temporales (3 dimensiones espaciales).
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Los 5 números en la parte eléctrica de Weyl describen el campo gravitacional de marea sobre un observador (espero que esta parte tenga sentido; si no, esa es otra pregunta).
La parte magnética del tensor de Weyl es más difícil de entender. Resulta que este tensor “gravitomagnético” controla el arrastre del marco local o la precesión de los giroscopios inerciales.
Mucho de esto se describe muy bien en la serie de documentos Tendex-Vortex (advertencia, altamente técnico; disponible gratuitamente aquí: [1108.5486]; [1208.3034]; [1208.3038]).
El significado físico final a tener en cuenta es: ¿qué partes del tensor de Riemann se propagan versus no se propagan? La analogía electromagnética es la diferencia entre las ondas de radio (propagación) frente al campo de Coulomb de una carga estacionaria (no propagación). Si analiza las soluciones de ondas gravitacionales, encontrará que todo el contenido de ondas gravitacionales de vacío sin trazas transversales se propaga en los tensores E y B, de forma redundante. Así es como se muestra la radiación electromagnética en los campos eléctricos y magnéticos. Si conoce el campo E, puede reconstruir el campo B y viceversa. Solo hay dos grados de libertad de propagación.
Si quiere pensar en lenguaje físico de partículas, el campo gravitacional es spin-2, lo que lo llevaría a considerar 2s + 1 = 5 tensores componentes (al igual que E y B); pero como los gravitones no tienen masa, solo tenemos los estados de helicidad m = + 2 ym = -2, por lo que solo hay dos grados de libertad de propagación.
[1] Entonces viven en representaciones irreductibles de SO (3). La descomposición anterior de Weyl se descomponía en irreps de SO (3,1), y al elegir un observador podemos reducir el grupo de estructura a [matemáticas] SO (3) <SO (3,1) [/ matemáticas].
