En dos palabras: cálculo tensorial.
En detalle…
Correcto. Entré en el sistema del Reino Unido, por lo que las cosas pueden ser un poco diferentes en cualquier lugar donde deletreen la palabra ‘matemáticas’ sin una ‘s’. Sin embargo, suponiendo que sea bastante similar, un estudiante a punto de comenzar una licenciatura en física estará familiarizado con algunos de los conceptos que son la base de las matemáticas de la relatividad general (GR). Analicemos qué tipo de cosas podría saber este hipotético estudiante antes de hablar sobre lo que necesitarían aprender para comprender GR.
- ¿La velocidad de un objeto cerca del agujero negro es igual a la velocidad de la luz?
- ¿Qué tan oscuras eran las matemáticas detrás de la relatividad general antes de que Einstein las usara?
- ¿Cuál es la razón principal por la que todo desaparece en un agujero negro?
- ¿El espacio-tiempo tiene masa?
- Dado el tiempo, el espacio y la dilatación masiva que ocurre en el horizonte de eventos de un agujero negro, ¿cómo entendemos la afirmación "desde el punto de vista del observador local"? ¿Es sensato considerar que el interior del horizonte de eventos no tiene sentido?
Nota: si está leyendo esto y la siguiente sección no le resulta familiar, espero que, sin embargo, le sea útil como guía de las cosas que debe aprender si tiene la ambición de estudiar física a un alto nivel.
Primero, cálculo : las matemáticas del cambio. Este alumno comprende que si tiene una cantidad y que varía cuando cambia alguna otra cantidad x , puede decir que [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas]; es decir, y es una función de x . Ella o él entiende que puede calcular la derivada de y con respecto a x , que escribimos
[matemáticas] y ‘= f’ (x) = \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]
… y también entienden que esta es la tasa que y varía en respuesta a las variaciones en x . Algunos estudiantes también sabrán que es posible establecer una ecuación diferencial , es decir, una ecuación que contenga algo de cantidad y su derivada y ‘ (o, más generalmente, derivadas más altas, por ejemplo, la derivada de la derivada, escrita y ” ).
Por ejemplo, podríamos escribir:
[matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas]
Este ejemplo muy simple solo dice que la derivada de y es igual a sí misma. A partir de esta ecuación, uno puede descubrir cómo se ve y , ya que las soluciones deben tener la forma
[matemáticas] y = Ae ^ {x} [/ matemáticas]
(aquí e es la constante exponencial). El estudiante en esta etapa sabrá que la derivada de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es en sí misma, y así es como lo sabrían.
Hasta aquí todo bien. Otro concepto con el que un estudiante en esta etapa estará familiarizado es el de un vector . Él / ella sabrá que una cantidad que tiene un tamaño (o magnitud ), como y o x mencionado anteriormente, se conoce como un escalar, mientras que una cantidad con un tamaño y dirección (por ejemplo, para dar un ejemplo de física, velocidad) es un vector Una forma de escribir un vector r sería la siguiente:
[matemáticas] \ subrayado {r} = \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix} [/ math]
Finalmente, el alumno también sabe todo sobre matrices . Una matriz es una cuadrícula de números que se ve así:
[matemáticas] \ underline {\ underline {A}} = \ begin {pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {pmatrix} [/ math]
¡Esperemos que el alumno sepa que una matriz puede usarse para describir una transformación aplicada a un vector, es decir, un procedimiento para estirar y rotar el vector! Eso funciona de la siguiente manera:
[matemáticas] \ underline {\ underline {A}} \ cdot \ underline {r} = \ underline {r_2} [/ math]
Aquí [math] \ underline {r_2} [/ math] es el vector estirado y girado que se obtiene al aplicar esta multiplicación de matriz.
De acuerdo, hasta ahora todo bien. Ahora, ¿qué necesitaré para enseñarle al alumno antes de que pueda aprender el cálculo del tensor? Bueno, primero, ¡sería bueno para ellos saber qué es un tensor! No voy a enseñar todas estas matemáticas aquí (aunque hay otras respuestas sobre Quora que sí entran en detalles), pero es suficiente decir que puedes pensar en matrices y vectores como casos especiales y simples de tensores. Un vector es como un tensor 1D, una matriz es como un tensor 2D y, en general, puede tener tensores de dimensión arbitraria (a esto le llamamos rango del tensor). En términos más generales, un tensor es una forma de asignar un conjunto de números a otro conjunto de números, al igual que la matriz asigna un vector a otro, un nuevo vector.
Ahora, antes de explicar el cálculo del tensor, necesitamos hacer una parada adicional en algo llamado cálculo vectorial (ya ve, un vector es un tensor muy simple, entonces el cálculo vectorial es el ejemplo más simple de cálculo tensorial). El cálculo, como lo entiende el estudiante que presenté antes, es el análisis del cambio en cantidades escalares (por ejemplo, los que llamé y y x ). Pero no es difícil ver que probablemente podríamos escribir algunas matemáticas para describir el cambio en una cantidad vectorial; nuestro ejemplo de velocidad es útil porque claramente el vector que describe la velocidad de, por ejemplo, un automóvil, cambiará a medida que disminuya la velocidad y dar la vuelta a una rotonda, tanto en tamaño (es decir, velocidad) como en dirección. Además, podríamos construir ecuaciones diferenciales para estos vectores, tal como lo hicimos para los escalares.
De hecho, la mayoría de los estudiantes universitarios de física harán un estudio completo del electromagnetismo antes de acercarse a GR. Parte de la razón de esto es que en EM encuentras cálculos vectoriales, por lo que te ayuda a sentirte cómodo con esas matemáticas antes de acercarte al cálculo tensorial más complejo de GR.
Entonces, cálculo del tensor : si ha seguido hasta ahora, podría ser razonablemente obvio en qué consiste, pero para explicarlo, son las matemáticas las que describen las variaciones de las ecuaciones que involucran tensores.
La ecuación principal de GR, que solo se puede apreciar completamente con este conocimiento, se escribe de la siguiente manera:
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
Esta es una ecuación tensorial. Puede encontrar detalles completos de lo que significa en otros lugares, pero un breve resumen es que el lado izquierdo describe la curvatura del espacio-tiempo, mientras que el lado derecho describe el contenido de energía y materia del espacio-tiempo. Los tensores son G, gy T: todos son tensores de segundo rango (por lo que puede representarlos con matrices), y [math] \ mu [/ math] y [math] \ nu [/ math] en realidad denotan filas y columnas de estas matrices. Ah, y todos ellos tienen cuatro filas y cuatro columnas (esto se debe a que estamos trabajando en el espacio-tiempo 4D: tiempo más las tres dimensiones espaciales).
En resumen:
Antes de que un estudiante universitario de física se preparara para estudiar GR, necesitarían saber bastante de matemáticas. Se necesita un conocimiento avanzado de vectores, matrices, ecuaciones diferenciales y cálculo de vectores, como mínimo. La mayoría de los estudiantes de física aprenden esto en el curso de su título a través de ejemplos aplicados (por ejemplo, la dinámica clásica y el electromagnetismo le brindan la mayor parte de la base que necesita). Para apreciar completamente la GR, también querrían comprender completamente la relatividad especial, la teoría anterior de Einstein, que es mucho más simple desde un punto de vista matemático. Luego podrían asumir el cálculo tensorial, que es el principal requisito previo para comprender GR.
