OKAY. Ya hay muchas preguntas sobre el (primer) teorema de Noether, así que primero asegúrate de no estar buscando la respuesta a una de ellas:
- ¿Cuál es el significado del teorema de Noether?
- ¿Cuál es el teorema de Noether establecido para el profano?
- ¿Cuál es una explicación intuitiva para el teorema de Noether?
- ¿Qué es lo que hace que el teorema de Noether sea tan hermoso?
En segundo lugar, debo señalar que el propio documento de Noether, “Problemas de variación invariable”, califica como una respuesta a esta pregunta: una exposición del teorema de Noether en notación matemática con una explicación en inglés. Puede encontrar el documento en arXiv.
¿Todavía quieres leer mi respuesta? Bueno. Asumiré que puedes manejar las matemáticas, que tendrán sabor a física, es decir , extremadamente descuidadas. (Me disculpo de antemano por esto.) [8] Repasemos algunos antecedentes.
- ¿Es el movimiento de las partículas cuánticas un movimiento suave, como predijo Schroedinger, o es en saltos, como predijo Heisenberg?
- ¿Qué forma de objeto no produciría fuerzas de marea?
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Configuraciones de sistemas físicos.
La historia de un sistema físico está representada por una configuración, que es una función desde un múltiple de fondo [4], [matemática] U [/ matemática], a [matemática] \ mathbb {R} ^ n [/ matemática]. [1] [2] Por ejemplo, para N partículas clásicas, [math] U [/ math] puede ser [math] [a, b] [/ math], que representa el tiempo, y una configuración asigna el tiempo a las coordenadas 3N de las partículas en un momento dado Para el campo electromagnético, podemos tomar [math] U [/ math] para ser [math] K \ subseteq \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], un subconjunto compacto de espacio-tiempo físico, donde una configuración mapea un punto espacio-temporal al potencial escalar y tres componentes del potencial vectorial en el punto dado. El conjunto de todas esas funciones entre los dos colectores dados es el espacio de configuración , [matemática] C [/ matemática], en el que vive el tipo de sistema en estudio. [3]
Configuraciones en shell y off-shell
Algunas configuraciones no son físicas, no pueden ocurrir porque no obedecen las leyes de la física. Se dice que las configuraciones que obedecen las leyes de la física son in-shell; los que no se dice que están fuera de la cáscara. La identificación de configuraciones en shell y off-shell se logra a través de una acción funcional, [math] \ mathcal S: C \ to \ mathbb {R} [/ math]. Una configuración [matemática] c_0 \ en C [/ matemática] está en el shell si y solo si la acción es estacionaria con respecto a las variaciones que preservan las condiciones de contorno, es decir, la derivada funcional desaparece de forma idéntica en el interior de [matemática] U [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ frac {\ delta \ mathcal S} {\ delta c} \ bigg | _ {c = c_0} = 0 \ end {ecuación *} [/ math]
Casi todas las acciones de interés físico son locales , es decir, están dadas por la integral sobre el fondo de una función de densidad lagrangiana local. “Local” significa que la densidad lagrangiana se define en un paquete de chorro (o eso me han dicho), es decir, depende del valor de una función y sus derivados hasta un orden finito en un punto determinado, generalmente 1. Vamos a solo considere ese caso aquí; las derivadas de orden 2 y superiores se dejan como ejercicio para el lector.
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} S [c] = \ int_U \ mathcal {L} (x, c (x), \ nabla c (x)) \ end {ecuación *} [/ math ]
Para una acción local, al requerir que la acción sea estacionaria se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange, que se satisface con las configuraciones en shell en todas partes en el interior de [math] U [/ math]:
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial c_i} = \ operatorname {div} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ nabla c_i} \ end {ecuación *} [/ matemáticas]
donde la igualdad es válida para todos los componentes de la configuración, [math] i = 1, \ ldots n [/ math]. [11]
Simetrías de la acción
Definimos una transformación como un mapeo uno a uno desde el espacio de configuración a sí mismo. Centraremos nuestra atención en grupos de transformaciones (con la composición de funciones como la operación grupal) que actúan en el espacio de configuración [6].
Deje que [math] G [/ math] sea un grupo de transformaciones. Suponga que para todas las configuraciones [matemática] c_0 \ en \ matemática C [/ matemática] y todas las transformaciones [matemática] g \ en G [/ matemática], [matemática] \ matemática S [c_0] = \ matemática S [g (c_0 )][/matemáticas]. Es decir, las transformaciones preservan la acción . Luego decimos que la acción tiene una simetría bajo [matemáticas] G [/ matemáticas], o que [matemáticas] G [/ matemáticas] es una simetría de la acción.
Cuando el grupo es uniforme, es decir , un grupo de Lie, decimos que la simetría es una simetría continua (pero recuerde que realmente significa que el grupo de simetría es diferenciable y, de hecho, uniforme, no simplemente continuo). Los elementos del álgebra de Lie asociados al grupo de simetría generalmente se denominan generadores de la simetría .
Hay dos consecuencias importantes de que la acción tenga una simetría continua:
- El sistema tendrá una simetría física en el sentido de que el grupo de simetría necesariamente asigna las configuraciones en shell a las configuraciones en shell. [5] Por ejemplo, cuando la acción es invariante bajo el grupo de traducciones espaciales, entonces el sistema que describe también será invariablemente traslacional: su comportamiento será el mismo sin importar en qué parte del universo se encuentre.
- El sistema tendrá una cantidad conservada en shell. De hecho, se puede hacer una declaración más fuerte: tendrá una corriente conservada y la ley de conservación para la cantidad conservada se puede describir mediante una ecuación de continuidad local.
La primera declaración es fácil de ver e intuitiva. La prueba se deja como ejercicio para el lector. [7] La segunda afirmación es el contenido del teorema de Noether.
De hecho, la condición que necesitamos es un poco más débil que esto: es suficiente que el cambio en la acción bajo una transformación dependa solo de las condiciones de contorno, es decir, el valor que toma la configuración en el límite. [12] No es difícil ver que esto todavía produce una simetría física, ya que una configuración, para estar en el caparazón, solo necesita tener una acción estacionaria con respecto a las configuraciones cercanas con las condiciones límite fijadas.
Suponemos que una configuración en shell también está en shell cuando está restringida a un subconjunto múltiple, lo que implica que la acción cambia solo por un término límite en todos los dominios de integración. A su vez, esto implica que la densidad lagrangiana cambia por una divergencia. (Discusión: ¿La acción y el lagrangiano tienen simetrías idénticas y cantidades conservadas?)
[matemáticas] \ begin {align *} \ delta c & \ approx \ epsilon X (c) \\ \ delta \ mathcal {L} & \ approx \ epsilon \ operatorname {div} f \ end {align *} [/ math ]
La primera ecuación dice que [matemáticas] X [/ matemáticas] es un generador de la simetría. En la segunda ecuación, tenga en cuenta que [math] f [/ math] es independiente de la configuración interior.
Corrientes conservadas
El teorema de Noether proporciona una fórmula para una corriente conservada localmente que corresponde a una simetría física . Una corriente conservada es un campo vectorial cuya divergencia se desvanece. En el caso donde [math] U [/ math] representa el tiempo, una corriente conservada es trivialmente solo una cantidad conservada como la energía o el momento. Si [math] U [/ math] representa el espacio-tiempo, una corriente conservada puede interpretarse como una combinación de una densidad de carga conservada y una corriente que describe el flujo de esa carga, satisfaciendo juntas una ecuación de continuidad. Por ejemplo, la densidad de carga eléctrica y tres componentes de la densidad de corriente eléctrica juntos forman una corriente conservada,
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ partial_ \ mu j ^ \ mu = 0 \ end {ecuación *} [/ math]
donde [math] j ^ \ mu = (c \ rho, J_x, J_y, J_z) [/ math], y esto se puede escribir como una ecuación de continuidad,
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0 \ end {ecuación *} [/ math]
Identificando la dirección temporal en nuestro múltiple espacio-temporal [matemática] U [/ matemática], podemos integrar la densidad de carga conservada sobre la porción espacial en un momento dado, para obtener una carga conservada total, que puede representar, por ejemplo, la carga eléctrica total presente en un sistema en un momento dado. La carga conservada se conserva en el sentido de que su valor es constante en el tiempo.
El teorema y la prueba.
El teorema mismo ya se ha establecido: a una simetría continua de la acción corresponde una corriente conservada, es decir, un campo vectorial cuya divergencia se desvanece en el caparazón. [13]
Ahora damos la fórmula explícita para la corriente conservada [14]:
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} j = X (c_0) \ cdot \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ nabla c} – f \ end {ecuación *} [/ math]
donde [math] X [/ math] es un generador de una simetría continua de la acción. (Un físico escribiría que [matemáticas] 1 + \ epsilon X [/ matemáticas] es una transformación infinitesimal). Una transformación de simetría generada por [matemáticas] X [/ matemáticas], [matemáticas] \ exp (\ lambda X) [/ math], se supone que cambia la densidad lagrangiana por una divergencia total, [math] \ operatorname {div} f [/ math], que no depende de los valores interiores de la configuración.
Para probar esto, tome la divergencia de ambos lados. En el lado derecho obtenemos, aplicando la regla de producto apropiada [15]:
[matemáticas] \ begin {align *} \ operatorname {div} j & = \ operatorname {div} \ left [X (c_0) \ cdot \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ nabla c} – f \ derecha] \\ & = \ nabla X (c_0) \ cdot \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ nabla c} + X (c_0) \ cdot \ operatorname {div} \ frac {\ partial \ mathcal L } {\ partial \ nabla c} – \ operatorname {div} f \\ & = \ nabla X (c_0) \ cdot \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ nabla c} + X (c_0) \ cdot \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial c} – \ operatorname {div} f \ end {align *} [/ math]
donde se obtiene la igualdad final aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange. Pero los dos primeros términos son ahora la derivada total de [math] \ mathcal {L} [/ math] con respecto a [math] \ lambda [/ math] en [math] \ lambda = 0 [/ math] como sistema transforma, [matemática] c_0 \ mapsto \ exp (\ lambda X) (c_0) [/ matemática]; Esto es claramente reconocible por la regla de la cadena. Recordamos que este cambio es una divergencia, [math] \ operatorname {div} f [/ math]. Por lo tanto, toda esta expresión se desvanece, y también lo hace [math] \ operatorname {div} j [/ math], que por lo tanto da [math] j [/ math] como una corriente conservada.
Ejemplos
Los ejemplos se realizarán en el estilo habitual del físico, que implica infinitesimales. Se aconseja al lector que tenga en cuenta que se pueden eliminar los infinitesimales reescribiendo expresiones en términos de derivadas.
Para una sola partícula clásica en tres dimensiones que se mueve en un potencial independiente del tiempo, el Lagrangiano es
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} L = \ frac {1} {2} m | \ dot x | ^ 2 – V (x) \ end {ecuación *} [/ math]
La acción así obtenida es
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ mathcal {S} = \ int_a ^ b L \, \ mathrm {d} t \ end {ecation *} [/ math]
Considere la siguiente transformación, que desplaza una ruta en el tiempo [9] [10] por el incremento infinitesimal [math] \ epsilon [/ math]:
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} x ‘\ leftarrow x + \ epsilon \ dot x \ end {ecation *} [/ math]
Luego, conectando esto a la expresión para [matemáticas] L [/ matemáticas] y usando [matemáticas] V (x + \ delta x) \ aprox \ delta x \, V ‘(x) [/ matemáticas],
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} L ‘- L = m \ epsilon \ dot x \ cdot \ ddot x + \ epsilon ^ 2 | \ ddot x | ^ 2 – \ epsilon V’ (x) \ end {ecuación *} [/ matemáticas]
Deseche el término [math] \ epsilon ^ 2 [/ math]. Lo que queda puede escribirse como la derivada total
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} L ‘- L = \ epsilon \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left [\ frac {1} {2} m | \ dot x | ^ 2 – V (x) \ right] \ end {ecuación *} [/ math]
La cantidad entre paréntesis es [matemática] f [/ matemática]. Tenga en cuenta que el generador en sí es [matemática] X = \ dot x [/ matemática], y el término [matemática] \ frac {\ parcial \ matemática L} {\ parcial \ nabla c} [/ matemática] es [matemática] \ nabla _ {\ dot x} L = m \ dot x [/ math]. Obtenemos para nuestra corriente conservada
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} j = m | \ dot x | ^ 2 – \ left [\ frac {1} {2} m | \ dot x | ^ 2 – V (x) \ derecha] = \ frac {1} {2} m | \ dot x | ^ 2 + V (x) \ end {ecuación *} [/ matemática]
cual es la energía de la partícula.
Por lo tanto, la energía es la carga de Noether correspondiente a la simetría de traslación de tiempo del sistema.
Para un ejemplo más complicado, considere un campo complejo de Klein-Gordon, es decir, un campo complejo con la densidad lagrangiana
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ mathcal L = \ frac {1} {2} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi ^ * \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} | \ phi | ^ 2 \ end {ecuación *} [/ math]
Se puede verificar que la densidad lagrangiana es invariable bajo un cambio global en la fase del campo complejo [math] \ phi [/ math]. La acción, por lo tanto, también es invariante, y [matemáticas] f = 0 [/ matemáticas]. Podemos representar un cambio de fase infinitesimal por
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ phi ‘\ leftarrow i \ epsilon \ phi \ end {ecation *} [/ math]
entonces [matemáticas] X \ phi = i \ phi [/ matemáticas]. Solo queda resolver el término
[matemática] \ frac {\ parcial \ matemática L} {\ parcial \ nabla \ phi} [/ matemática]. Recuerde que un campo complejo está realmente representado como un par de campos reales, que llamaremos [math] \ phi_x [/ math] y [math] \ phi_y [/ math], con [math] \ phi = \ phi_x + i \ phi_y [/ math]. En términos de estos, la densidad lagrangiana es
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ mathcal {L} = \ frac {1} {2} \ eta ^ {\ mu \ nu} (\ partial_ \ mu \ phi_x \ partial_ \ nu \ phi_x + \ partial_ \ mu \ phi_y \ partial_ \ nu \ phi_y) – \ frac {1} {2} m ^ 2 (\ phi_x ^ 2 + \ phi_y ^ 2) \ end {ecuación *} [/ matemática]
Solo el primer término depende de los derivados de los campos. La diferenciación es ahora una aplicación directa de la regla del producto,
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ lambda \ phi_x)} = \ frac {1} {2} \ partial ^ \ lambda \ phi_x + \ frac {1} {2} \ partial ^ \ lambda \ phi_x = \ partial ^ \ lambda \ phi_x \ end {ecuación *} [/ math]
y de la misma manera
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ lambda \ phi_y)} = \ partial ^ \ lambda \ phi_y \ end {ecuación * }[/matemáticas]
y [math] X (\ phi_x) [/ math] es la parte real de [math] i \ phi [/ math], es decir, [math] – \ phi_y [/ math], y del mismo modo [math] X ( \ phi_y) [/ math] es [math] \ phi_x [/ math] por lo que nuestra corriente conservada es
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} j ^ \ lambda = – \ phi_y \ partial ^ \ lambda \ phi_x + \ phi_x \ partial ^ \ lambda \ phi_y \ end {ecuación *} [/ math]
que alternativamente se puede escribir como
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} j ^ \ lambda = \ operatorname {Im} (\ phi ^ * \ partial ^ \ lambda \ phi) \ end {ecuación *} [/ math]
Esto puede considerarse como análogo a la densidad de corriente eléctrica para este campo, y [math] \ operatorname {Im} (\ phi ^ * \, \ partial \ phi / \ partial t) [/ math] puede identificarse con el densidad de carga eléctrica (hasta un factor de c ). La corriente [math] j ^ \ lambda [/ math] es la corriente Noether correspondiente a esta simetría bajo el cambio de fase global (que se denomina “simetría global U (1)”) y el valor
[matemáticas] \ begin {ecation *} \ tag * {} Q = \ int j ^ 0 \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z \ end {ecuación * }[/matemáticas]
en fijo [matemática] t [/ matemática] es la carga de Noether, con
[matemática] \ begin {ecation *} \ tag * {} \ frac {dQ} {dt} = 0 \ end {ecuación *} [/ math]
es decir, [matemáticas] Q [/ matemáticas] es una cantidad conservada.
Notas
[1] Las posibles generalizaciones se dejan como ejercicio para el lector.
[2] Un campo complejo puede ser representado por un par de campos reales.
[3] Las configuraciones pueden o no ser redundantes; es decir, es posible que dos configuraciones diferentes sean físicamente indistinguibles. Por ejemplo, realizar una transformación de indicador en los potenciales electromagnéticos proporciona una configuración diferente que produce los mismos campos E y B.
[4] El colector debe estar equipado con una medida para que sea posible integrar una función escalar sobre él. En general, será un colector riemanniano orientable.
[5] Esta terminología probablemente no sea estándar.
[6] En el sentido habitual (acción grupal)
[7] Sugerencia: [matemáticas] \ frac {\ delta (\ mathcal S \ circ g)} {\ delta c} \ bigg | _ {c = c_0} = \ nabla g (c_0) \ cdot \ frac {\ delta \ mathcal S} {\ delta c} \ bigg | _ {c = g (c_0)} [/ math]
[8] Hacerlo matemáticamente riguroso se deja como ejercicio para el lector.
[9] Esta es solo la expansión de Taylor para ordenar uno de [math] x (t – \ epsilon) [/ math].
[10] La forma en que se escribe esta transformación, en realidad cambia la posición de la partícula a su posición infinitesimal en el futuro, por lo que la partícula llega antes , lo que significa que estamos retrocediendo en el tiempo. Hacemos esto para obtener el signo correcto para la cantidad conservada.
[11] Por ejemplo, en el caso del campo electromagnético clásico en el vacío, esto da cuatro ecuaciones, una para cada componente del cuatro potencial, equivalente a la ley de Gauss en el vacío y la ley de Ampère-Maxwell en el vacío, [matemáticas] \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} [/ math] (que son tres ecuaciones escalares). Se pueden encontrar más ejemplos en referencias estándar, como L&L vols. 1 y 2.
[12] Esto se satisface trivialmente cuando la acción realmente es invariable.
[13] Una pregunta sutil: ¿debe la acción exhibir una simetría, o podemos derivar una ley de conservación solo de las ecuaciones de movimiento, es decir, simplemente del conocimiento de una simetría física ? Que yo sepa, realmente necesitas tener una simetría de la acción. Véase, por ejemplo , ¿una acción y sus ecuaciones de Euler-Lagrange tienen las mismas simetrías? Noether también declaró originalmente su teorema en términos de simetrías de la acción.
[14] Debido a que el soporte LaTeX de Quora es una mierda, se han suprimido algunas dependencias explícitas. Para ser claros, [matemática] j [/ matemática] es un campo vectorial que depende de la posición [matemática] x_0 \ en U [/ matemática] así como de la configuración cerca de [matemática] x_0 [/ matemática]; [math] f [/ math] depende de la posición, pero se supone que solo depende de los valores límite de [math] c_0 [/ math]; [math] X (c_0) [/ math] se evalúa en [math] x_0 [/ math]; y [matemática] \ parcial \ matemática L / \ parcial \ nabla c [/ matemática] se evalúa con los argumentos [matemática] x_0 [/ matemática], [matemática] c_0 (x_0) [/ matemática] y [matemática] \ nabla c_0 (x_0) [/ matemáticas].
[15] Esto debe interpretarse de la siguiente manera: [matemáticas] \ nabla X (c_0) \ cdot \ partial \ mathcal L / \ partial \ nabla c [/ math] es la suma de [matemáticas] \ nabla X (c_0 ^ i ) \ cdot \ partial \ mathcal L / \ partial \ nabla c ^ i [/ math] donde el superíndice [math] i [/ math] denota el componente i-ésimo de la configuración; [math] \ operatorname {div} \ partial \ mathcal L / \ partial \ nabla c [/ math] se contrae sobre el índice creado por el gradiente en [math] c [/ math], no los componentes de [math] c [ / matemáticas] (no es que tenga sentido, de todos modos).
Agradecimientos
Me gustaría agradecer a Qmechanic de Physics Stack Exchange, que ayudó a aclarar gran parte de la confusión que experimenté al escribir esta respuesta.
