Una lámina infinita de densidad de masa superficial constante dará un campo gravitacional uniforme (es decir, sin fuerzas de marea) en cualquiera de sus lados con una discontinuidad en el plano de la lámina. Es esencialmente el mismo problema que la hoja de carga infinita en electrostática con campo eléctrico [matemático] \ vec E [/ matemático] reemplazado por el campo gravitacional [matemático] \ vec g [/ matemático] y la densidad de carga superficial reemplazada por la masa superficial densidad.
Tenga en cuenta que necesita una hoja infinita para que esto funcione. Ninguna forma finita puede dar un campo gravitacional sin efectos de marea.
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Dado que usted preguntó acerca de la ausencia de efectos de marea en la dirección vertical, puede crear un escenario así: considere una distribución de masa esféricamente simétrica donde la densidad es inversamente proporcional a la distancia radial desde el centro
[matemáticas] \ rho (r) = a / r [/ matemáticas]
Esta función no es agradable en absoluto: explota en el origen. Pero da una masa finita cuando se integra sobre un volumen finito. Entonces agitaré mis manos y diré que es una distribución de densidad válida.
El campo gravitacional viene dado por
[matemáticas] \ vec g (\ vec r) = \ frac {G} {r ^ 2} \ hat r \ int_0 ^ r 4 \ pi r ^ 2 \ rho (r) dr = \ frac {G} {r ^ 2} \ hat r \ int_0 ^ r 4 \ pi r ^ 2 \ frac {a} {r} dr = {2 \ pi a G} \ hat r [/ math]
que es independiente de la distancia radial.
