Sí, el universo puede ser finito en extensión y globalmente plano, pero estoy interpretando “extensión” como la extensión de una sección espacial aquí, y plano en el sentido de espacialmente plano, ya que la métrica en el espacio-tiempo es lorentziana.
Así que supondré implícitamente que existe una foliación unidimensional del espacio-tiempo, como existe en las cosmologías FLRW y en la descomposición ADM de las ecuaciones de Einstein.
De lo contrario, se trata de 4-manifolds generales globalmente planos que tienen una métrica lorentziana. Y la clasificación de tales variedades no se ha hecho.
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Después de todo, la clasificación de 4 múltiples es un gran problema abierto en matemáticas: hay 4 múltiples topológicos que no admiten ninguna estructura lisa. También hay, de manera famosa, un número infinitamente infinito de estructuras lisas en [matemáticas] R ^ 4 [/ matemáticas] que no son difeomorfas entre sí. Entonces el caso de 4 dimensiones no es trivial por decir lo menos.
Claramente, uno puede pensar en un ejemplo de un Lorentzian de 4 múltiples con curvatura escalar global cero [matemática] \ kappa = 0 [/ matemática] que no es compacta: el espacio plano de Minkowski hace el trabajo. Por supuesto, una de las complicaciones es que no todas las submúltiples variedades de una variedad lorentziana heredan una métrica lorentziana.
Los casos [math] \ kappa = \ pm 1 [/ math] al menos, también son bien conocidos, son espacio de-Sitter y anti-de-Sitter.
Hay un trabajo de Geoffrey Mess en la clasificación de múltiples Lorentzianas de curvatura constante en dimensiones 2 + 1 si está buscando una discusión más general de los problemas en un caso mucho más simple. Con la prueba de la conjetura de Poincaré por Perelman, creo que la clasificación de 3 múltiples está completa.
http://arxiv.org/pdf/0706.1570.pdf
Con todo ese preámbulo y esa gran advertencia: ciertamente es posible que el universo sea globalmente espacialmente plano y aún así sea, espacialmente, una variedad compacta orientable o no orientable.
Hay exactamente seis clases de tres múltiples múltiples orientables, compactas euclidianas, siendo los tres toros el más simple de estos, y también hay cuatro clases que no son orientables, para un total de diez posibilidades.
La referencia a tener en cuenta es Wolf: Spaces of Constant Curvature.
