La clave aquí es que si toma una derivada ordinaria como lo hace en relatividad especial,
[matemáticas] a ^ \ mu = \ frac {du ^ \ mu} {d \ tau} [/ matemáticas]
el resultado no será generalmente covariante. ¿Por qué? Porque, a medida que una partícula se mueve a través del espacio-tiempo, en cada punto a lo largo de su línea mundial tiene una velocidad de cuatro que se encuentra en el espacio tangente particular unido a su ubicación actual. Un difeomorfismo general, en contraste con una transformación activa de Lorentz de relatividad especial, puede tener un efecto diferente en espacios tangentes en diferentes puntos de la variedad. Como resultado, mientras que en la relatividad especial podemos extraer la transformación de Lorentz (que actúa sobre los espacios tangentes) fuera de la derivada, en relatividad general no podemos, y [math] a ^ \ mu [/ math] como se definió anteriormente no se transformará de la misma manera que la de cuatro velocidades. En su lugar, debemos usar una derivada covariante total:
[matemáticas] a ^ \ mu = \ frac {Du ^ \ mu} {D \ tau} = u ^ \ nu u ^ \ mu {} _ {; \ nu} [/ math]
Al principio, esta expresión puede parecer extraña ya que [math] u_ \ mu [/ math] no es un campo vectorial; solo se define a lo largo de la línea mundial y las derivadas covariantes direccionales [matemáticas] u ^ \ mu {} _ {; \ nu} [/ matemáticas] ([matemáticas] \ nu = 0, 1, 2, 3 [/ matemáticas] ) no tienen significado por sí mismos. Esta es una deficiencia de la notación de índice. Lo que la diferenciación covariante [matemática] Du ^ \ mu / D \ tau [/ matemática] realmente significa es que antes de tomar el cociente de diferencia vamos a transportar en paralelo uno de los vectores, [matemática] u ^ \ mu (\ tau + \ Delta \ tau) [/ matemáticas]. Para esto se encuentra en el punto [matemáticas] x ^ \ mu (\ tau + \ Delta \ tau) [/ matemáticas] y queremos transportarlo en paralelo hacia atrás al punto [matemáticas] x ^ \ mu (\ tau) [ /matemáticas]; es decir, por el desplazamiento [math] -u ^ \ mu (\ tau) \ Delta \ tau [/ math]. Entonces sus nuevas coordenadas en [math] x ^ \ mu (\ tau) [/ math] después del transporte paralelo serán [math] u ^ \ mu (\ tau + \ Delta \ tau) – \ Gamma ^ \ mu _ {\ nu \ xi} u ^ \ nu (\ tau) (- \ Delta \ tau \, u ^ \ xi (\ tau)) [/ math] donde la diferencia entre [math] \ tau [/ math] y [math] \ tau + \ Delta \ tau [/ math] en la parte multiplicada por el símbolo de Christoffel es de segundo orden y puede ignorarse. El resultado es:
[matemáticas] \ frac {Du ^ \ mu} {D \ tau} = \ lim _ {\ Delta \ tau \ to 0} \ frac {u ^ \ mu (\ tau + \ Delta \ tau) – u ^ \ mu (\ tau) + \ Delta \ tau \, \ Gamma ^ \ mu _ {\ nu \ xi} u ^ \ nu u ^ \ xi} {\ Delta \ tau} [/ math]
que se reduce a
[matemáticas] \ frac {Du ^ \ mu} {D \ tau} = \ frac {du ^ \ mu} {d \ tau} + \ Gamma ^ \ mu _ {\ nu \ xi} u ^ \ nu u ^ \ xi [/matemáticas]
Una característica curiosa es que la aceleración así definida se desvanece cuando una partícula está en caída libre; entonces esta aceleración es realmente la aceleración no gravitacional total experimentada por un cuerpo. Tomar la derivada covariante, en cierto sentido, ya “resta la curvatura” ( es decir, el efecto de la gravedad). De hecho, sabemos que cuando una partícula experimenta solo fuerzas gravitacionales, podemos cambiar a un marco “localmente inercial” en un punto dado, donde la partícula en realidad parecerá moverse a velocidad constante (por un instante). En dicho marco, tanto [math] du ^ \ mu / d \ tau [/ math] como los símbolos de Christoffel desaparecerán, por lo que también desaparecerán las cuatro aceleraciones [math] Du ^ \ mu / D \ tau [/ math] . Y esta última cantidad es tensorial, por lo que debe ser cero en todos los cuadros.
Esto, por cierto, nos da una derivación alternativa [1] de la ecuación geodésica; simplemente establece [math] a ^ \ mu [/ math] igual a cero y obtenemos
[matemáticas] \ frac {du ^ \ mu} {d \ tau} = – \ Gamma ^ \ mu _ {\ nu \ xi} u ^ \ nu u ^ \ xi [/ matemáticas]
[1] Alternativa a la derivación lagrangiana, en la cual el tiempo apropiado de la partícula se ve afectado.
