¡Hola!
Creo que esta es una pregunta magnífica. Barak ha dado una gran respuesta, pero si eres como yo, es posible que desees algunas matemáticas.
En relatividad, tenemos la siguiente expresión para energía:
[matemáticas] E ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2} [/ matemáticas],
que, por cierto, es la forma general de la famosa ecuación [math] E = mc ^ {2} [/ math], que solo es válida para el llamado “marco de descanso” de una partícula. Esto es el resultado de contraer la generalización relativista del momento, el “vector de cuatro momentos de energía-momento”, que se define de la siguiente manera:
[matemáticas] p ^ {\ mu} = (\ frac {E} {c}, p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}) = (\ frac {E} {c}, \ mathbf {p })[/matemáticas]
Al contratar, que es solo una forma elegante de tomar un producto interno, debemos considerar la definición de distancia en el espacio-tiempo; para esto, definimos una métrica, [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math]. Este es un tensor de rango dos. Los índices van de 0 a 3, donde 0 es la parte del tiempo y 1-3 son las partes espaciales. Ahora para esta próxima parte, hacemos la elección de definir el tensor métrico con la firma (+ -). Esto es completamente arbitrario: por experiencia, parece que a los chicos HEP les gusta la definición (+ -), mientras que los cosmólogos prefieren la versión (- +++); Ambos están completamente bien. Con nuestra definición, la métrica se parece a esta matriz 4 × 4:
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y -1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y -1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y -1 \ end {pmatrix} [/ matemáticas]
Esta es la métrica de Minkowski, también llamada métrica cartesiana de espacio plano o métrica euclidiana. Es idéntico a la métrica tridimensional que muchos usan sin saberlo, pero tiene una dimensión temporal adicional.
La contratación requiere que punteamos el vector relevante en ambos lados de la matriz, por lo tanto:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} E / c & p_ {1} & p_ {2} y p_ {3} \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y -1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y -1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y -1 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} E / c \\ p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \ end {pmatrix} [/ math]
Esto puede escribirse de manera más compacta en notación tensorial:
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} p ^ {\ nu} p ^ {\ mu} [/ matemáticas], o [matemáticas] p _ {\ mu} p ^ {\ mu} [/ matemáticas],
donde [matemáticas] p _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} p ^ {\ nu} [/ matemáticas].
Continuando con la multiplicación de la matriz, llegamos a
[matemáticas] p _ {\ mu} p ^ {\ mu} = \ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}} – p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2} – p_ {3} ^ {2} = \ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}} – \ mathbf {p} ^ {2} [/ math].
Consideremos ahora la definición de impulso. La versión 3D se define como masa por velocidad y, bueno, lo mismo es cierto en relatividad, pero trabajamos con la velocidad relativista de cuatro velocidades:
[matemáticas] \ eta ^ {\ mu} = \ gamma \ begin {pmatrix} c & v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} \ end {pmatrix} = \ gamma \ begin {pmatrix} c & \ mathbf {v} \ end {pmatrix} [/ math].
La gamma en la expresión anterior es el factor de Lorentz. Nos dice cuánto tiempo se dilata o se contrae el espacio entre los marcos de referencia. La forma matemática precisa es
[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- {v ^ {2} / {c ^ {2}}}}} [/ matemáticas].
Entonces, multiplicando por la masa, obtenemos
[matemáticas] p ^ {\ mu} = m \ eta ^ {\ mu} = \ frac {m} {\ sqrt {1- {v ^ {2} / {c ^ {2}}}}} \ times \ comenzar {pmatrix} c & \ mathbf {v} \ end {pmatrix} [/ math].
Si contraemos esta forma del impulso cuatro consigo mismo, obtenemos lo siguiente:
[matemáticas] p _ {\ mu} p ^ {\ mu} = \ frac {m ^ {2}} {1- {v ^ {2} / {c ^ {2}}}} \ times \ begin {pmatrix} c & \ mathbf {-v} \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} c \\\ mathbf {v} \ end {pmatrix} = \ frac {m ^ {2}} {1- {v ^ {2 } / {c ^ {2}}}} \ times (c ^ {2} -v ^ {2}) = m ^ {2} c ^ {2} [/ math].
Igualando los dos, llegamos a
[matemáticas] \ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}} – \ mathbf {p} ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} [/ matemáticas].
Tomando los elementos zeroth de ambas definiciones del impulso cuatro, podemos ver que [math] E = \ gamma mc [/ math], que puede reorganizarse para dar la expresión de velocidad que dio Barak. Como ha señalado correctamente, el segundo término debajo del radical es idénticamente cero para partículas sin masa, por lo que la velocidad es precisamente [matemática] c [/ matemática].
En la teoría del campo cuántico, las cuatro fuerzas fundamentales están mediadas por bosones, partículas con valores integrales de momento angular de “giro”. El mediador teorizado de la gravedad es el gravitón; el gravitón es hacia la gravedad como el fotón hacia la luz (electromagnetismo). Las teorías más populares generalmente predicen gravitones sin masa, en cuyo caso la gravedad se propaga a la velocidad de la luz.
Otra consideración puede involucrar las ecuaciones de campo de Einstein, la esencia de la teoría moderna de la gravitación. Realmente son solo una ecuación, una ecuación diferencial de tensor simétrica, que involucra dieciséis sub-ecuaciones (o diez, arrojando seis duplicados):
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas].
[matemática] G _ {\ mu \ nu} [/ matemática] representa la curvatura del espacio-tiempo, y [matemática] T _ {\ mu \ nu} [/ matemática] representa la energía de masa. El término lambda explica la “constante cosmológica”. La constante cosmológica es un tema muy desordenado, y su contribución es lo suficientemente pequeña como para que podamos descuidarla impunemente. Esta ecuación dice, más o menos, “curvas de masa-energía espacio-tiempo”.
Los EFE pueden estar “linealizados” en la forma (tendrás que confiar en mis matemáticas por razones de brevedad)
[math] \ square \ bar {h} _ {\ alpha \ beta} = -16 \ pi T _ {\ alpha \ beta} [/ math],
donde la [matemática] h [/ matemática] representa el campo de radiación, y la [matemática] T [/ matemática] nuevamente representa la energía. Quizás reconozca el cuadrado como el operador de d’Alembert. Es la generalización relativista propia del laplaciano:
[math] \ square = \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} – \ nabla ^ 2 [/ math].
¡Pero esta es solo una ecuación de onda no homogénea! En la zona de radiación, podemos suponer que el tensor de energía de estrés desaparece, por lo que la ecuación de onda se reduce a [matemáticas] \ cuadrado \ bar {h} _ {\ alpha \ beta} = 0 [/ matemáticas]. Así,
[matemáticas] \ square \ bar {h} _ {\ alpha \ beta} = \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} \ barra {h} _ {\ alpha \ beta} – \ nabla ^ 2 \ bar {h} _ {\ alpha \ beta} = 0 [/ matemáticas],
¡cuál es la ecuación diferencial parcial homogénea para una onda que se propaga a la velocidad de la luz!
Si desea seguir estudiando la teoría de la gravedad, le recomendaría el texto de Hartle. Cubre todo, desde la relatividad galileana hasta la relatividad especial y la relatividad general, introduciendo todas las matemáticas necesarias en el camino. Solo debe tener una comprensión decente del cálculo y las ecuaciones diferenciales.
En cuanto a la evidencia experimental, sugeriría investigar el experimento LIGO. Son 4 km de largo – CUATRO KILÓMETROS – Interferómetros Michelson con, si no me equivoco, precisión de attómetro aproximadamente. Son indudablemente increíbles hazañas de ingenio e ingeniería física, que vale la pena investigar solo por eso.
Creo que están buscando radiación de púlsares binarios, que son teóricamente grandes fuentes de radiación gravitacional, lo que significa “genial” que en la Tierra podemos observar una deformación del espacio-tiempo menor que una milésima parte del tamaño de un protón …
Como último regalo, te dejo con un pequeño ejemplo:
Si el Sol se desvaneciera instantáneamente, la Tierra continuaría en su órbita EXACTA durante aproximadamente 8.4 minutos. No notaríamos nada hasta que todo se oscureciera. La razón es, lo adivinaste, las ondas de gravedad nos alcanzan al mismo tiempo que las ondas EM nos alcanzan. Muy bien, ¿eh?
