El tiempo es una dirección particular en el espacio-tiempo, con propiedades muy diferentes a las otras 3 direcciones. El espacio-tiempo no es reimaniano: no todas las direcciones son iguales. En particular, con un cambio de coordenadas (unidades y direcciones) [math] dx ^ {\ mu} [/ math] siempre podemos describir localmente la métrica espacio-tiempo como
[matemáticas] ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 – (dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2) [/ matemáticas]
Esto es lo que se conoce como el principio de equivalencia. La longitud [math] ds [/ math] es la distancia invariable recorrida en el espacio-tiempo.
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La coordenada [math] dx_0 [/ math] es diferente a todas las demás, porque contribuye a [math] ds [/ math] con signo opuesto. Esta es la coordenada que etiquetamos como tiempo, porque tiene las siguientes propiedades relacionadas que la diferencian de las demás:
- La distancia que recorre en la dirección del tiempo debe ser mayor que la suma en cuadratura de la distancia que recorre en las otras direcciones, para que [math] ds [/ math] sea positivo. Esto impone una estructura causal: las cosas con [math] dx_0 [/ math] más pequeñas en una línea mundial suceden primero; hay un orden de eventos en el tiempo para un observador.
- Los objetos sin masa (como la luz) nunca recorren una distancia invariable; esto significa que
[matemáticas] \ frac {\ sqrt {dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2}} {dx_0} = 1 [/ matemáticas];
Por ejemplo, los objetos sin masa viajan a la velocidad de la luz (que es uno en estas unidades).
- Si bien puede ir en direcciones de aumentar o disminuir los valores de las coordenadas [matemáticas] dx_1, \, dx_2 ^ 2, \, {\ rm y \,} dx_3 [/ matemáticas], solo puede avanzar para la primera coordenada ( una consecuencia del ordenamiento temporal de los eventos en una línea mundial). Por lo tanto, puede moverse hacia adelante y hacia atrás en el espacio, pero solo hacia adelante en el tiempo.
La coordenada con estas propiedades es a la que deberíamos referirnos como tiempo. No siempre es la variable que etiquetamos con [math] t [/ math]. En particular, dentro de un horizonte de eventos de agujero negro, la coordenada Schwarzschild [math] r [/ math] es la que sigue las reglas anteriores; te mueves inexorablemente hacia el centro del agujero negro, mientras eres libre de moverte en cualquier dirección en cualquiera de las otras tres coordenadas (incluido el ‘tiempo’ de coordenadas). Fuera del agujero negro, las coordenadas de Schwarzschild se comportan como esperamos: [math] t [/ math] es la coordenada del tiempo, y [math] r [/ math] es una coordenada espacial que apunta hacia el agujero negro.
