[matemáticas] x ^ {\ nu} [/ matemáticas] es un vector de cuatro, se ve así: [matemáticas] ({ct, x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3}) ^ T [/ matemáticas] Tenga en cuenta que el los números aquí no son potencias, son índices superiores (porque el índice [math] \ nu [/ math] es alto). [matemáticas] x ^ i [/ matemáticas] puede ser la dirección x, y o z, por ejemplo
Observe que [math] x ^ {\ nu} [/ math] tiene dimensiones de metros debido al factor de [math] ct [/ math].
[math] \ Lambda ^ {\ mu} _ {\ nu} [/ math] es un (1,1) Tensor, que quizás conozcas como Matrix. Tiene dos índices, que corresponden al número de fila ([math] \ mu [/ math]) y la columna ([math] \ nu [/ math]), por lo que tiene 16 entradas en total (aunque no todos) son únicos debido a las simetrías). Esta Matriz le dice cómo puede (Lorentz) transformar un sistema de coordenadas (representado por [math] x ^ {\ nu} [/ math] en otro [math] x ^ {\ prime \ mu} [/ math].
[math] \ Lambda ^ {\ mu} _ {\ nu} x ^ {\ nu} [/ math] tiene un índice contraído (uno alto y uno bajo), esto significa que debe sumar estos índices (este es el Notación de Einstein, deja muchas sumas). Puedes imaginar esto como la operación de una matriz en un vector, que normalmente escribirías como:
[matemáticas] \ sum_j A_ {ij} v_j [/ matemáticas]. Sin embargo, en la notación de Einstein, la ubicación del índice (arriba o abajo) no es trivial, y si encuentra un solo índice tanto arriba como abajo, debe sumarlo.
- Relatividad especial: si los fotones no experimentan tiempo y ven sus viajes como instantáneos, ¿por qué experimentamos un retraso entre la emisión y la recepción del fotón?
- Con la relatividad especial en mente, ¿nuestra aceleración alrededor del sol perturba nuestra capacidad de experimentar y medir con las leyes de la física?
- Como humanos, interpretamos todo como objetos tridimensionales (largo, ancho, alto / profundidad). ¿Cómo será si tenemos un mundo donde las cosas tienen una cuarta dimensión adicional (tiempo) que no es unidireccional? ¿Puede nuestro cerebro darle sentido a esto? ¿Podemos lograr viajar en el tiempo?
- Física: si viajáramos a la velocidad de la luz, ¿podríamos alcanzar el futuro?
- Relatividad especial: ¿Por qué la velocidad del factor de luz determina la cantidad de energía que se puede obtener de la materia?
[matemáticas] \ eta _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] es la métrica. Es un Tensor (0,2), y generalmente se representa como una Matriz (aunque técnicamente, ¡no lo es!). Al igual que [math] \ Lambda [/ math], [math] \ eta _ {\ mu \ nu} [/ math] tiene 16 entradas. Sin embargo, la métrica siempre es simétrica, por lo que solo te quedan 10. Al principio, solo trabajas con métricas triviales, y están dadas por [math] \ eta _ {\ mu \ nu} = diag ({- 1 , 1,1,1}) [/ matemáticas]. O menos esto (esto es una cuestión de convención).
El propósito exacto de una métrica es un poco vago de explicar, pero puedes verlo como un campo que describe un poco cómo se curva tu espacio-tiempo. Para aclarar este punto, veamos las 4 distancias en GR:
[matemáticas] ds ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = -c ^ 2 dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemáticas ]
De extrema importancia es el signo menos frente a [math] dt ^ 2 [/ math]. Tiene una consecuencia muy importante, pero no entraré en eso ahora.
La segunda linea 
es la ecuación definitoria para [math] \ Lambda [/ math], una vez que tenga una métrica, puede usarla para definir de forma exclusiva [math] \ Lambda [/ math]. Tenga en cuenta que debe sumar todos los índices de [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math]. Por lo tanto, puede ver la vista de la izquierda como 2 matrices trabajando en otra (aunque técnicamente [math] \ eta [/ math] no es una matriz).
La segunda línea básicamente le dice que si comienza con una métrica, Lorentz la transforma una vez (necesita transformar Lorentz todos los índices individualmente pero al mismo tiempo, de lo contrario recibirá una respuesta que sería la mitad en un sistema de coordenadas y la mitad en otro: galimatías, por eso hay dos [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] s). Recibirá exactamente la misma métrica [matemáticas] \ eta [/ matemáticas] y no alguna nueva [matemáticas] \ eta ‘[/ matemáticas]. Esto significa que la métrica es Lorentz Invariante: es un objeto que es el mismo, no importa cómo se mire. Como probablemente pueda imaginar, esto hace que sea increíblemente útil describir cosas de una manera que todos puedan estar de acuerdo.
