Si una geodésica es una ‘línea recta’ en el espacio curvo, entonces, ¿cómo sería / se vería una línea curva en el espacio curvo?

Tomemos un ejemplo simple: lanzar una pelota directamente desde la superficie de la tierra. Solo hay una dimensión espacial de interés, la altura, por lo que si trazas eso en función del tiempo, obtienes una parábola al revés.

Para mayor realismo, trace el eje de tiempo en segundos y el eje de posición en segundos claros, con el mismo número de cada pulgada en la página. Dado que la pelota solo recibe una mínima fracción de segundo ligero del suelo, eso significa que es una parábola realmente amplia y plana.

Si lo desea, puede voltear el gráfico sobre la línea de 45 ° para obtener un diagrama de Minkowski, donde la convención es que el tiempo pasa por la página y el espacio es transversal. Es decir, tienes una parábola muy alta, plana, de lado. Y así es como se ve una geodésica en este caso. Es casi una línea recta porque el espacio-tiempo es solo un poco curvo.

¿Por qué es una geodésica? Bueno, una geodésica es análoga a una línea recta, excepto que en lugar de ser la distancia más corta entre dos puntos, es la distancia más larga entre dos eventos. ¿Cómo se mide la distancia? Con un reloj, que es un odómetro de espacio-tiempo. Es exactamente la paradoja gemela: el gemelo que se mueve más inercialmente entre las reuniones de mayor edad. Excepto que ahora hay gravedad y dilatación del tiempo gravitacional en la mezcla.

Es decir, estar a una altura más baja (es decir, un potencial gravitacional más bajo) es un atajo hacia el futuro: la pelota envejece menos si permanece en el suelo que si está atrapada en un techo. Así es como el espacio-tiempo curvo se manifiesta en la práctica. Un “rectángulo” de 20 pies de altura (la altura de la pelota en el techo) y de un año de duración tiene el “lado más alto un poco más largo que el lado” más bajo. ¡Pero una bola que se mueve inercialmente quiere un corte largo, no un atajo! comienza en el suelo desde donde lo arroja, puede lograrlo al pasar parte del tiempo a una altura mayor. Pero no demasiado porque luego envejece menos debido a la dilatación del tiempo de velocidad en el camino hacia arriba y hacia abajo. Resulta ser una parábola.

Una geodésica es el equivalente de una “línea recta”, ya que es la distancia más corta entre dos puntos.

Es el camino tomado por un objeto en un marco de referencia inercial (es decir, en caída libre).
Si un objeto no está en caída libre, su línea mundial no es geodésica, y viceversa. Entonces, el camino de la Tierra es el espacio-tiempo es geodésico, como lo es el movimiento de un satélite alrededor de la Tierra. Pero la línea mundial de cualquier cosa en la superficie de la tierra es curva, ya que no estamos en caída libre y, por lo tanto, no viajamos a lo largo de una geodésica.