Un cilindro es el producto (cartesiano) de un circe [matemático] S ^ 1 [/ matemático] y la línea real, entonces, matemáticamente podemos describirlo como: [matemático] S ^ 1 \ veces \ mathbb {R} ^ 1 [ /matemáticas]. La idea es que en cada punto a lo largo del círculo, adjuntemos una copia de la línea real; puede pensar en el cilindro como un grupo (infinito) de copias de la línea real dispuestas a lo largo de un círculo. Una ecuación típica para un círculo (centrada en el origen con un radio de uno) es: [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática], pero se entiende que se define en la [matemática] xy [ / math] -plane. La misma ecuación describirá un cilindro si entendemos que esta ecuación se refiere a una superficie en un espacio tridimensional [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. Aquí, cada punto se describe mediante una tripleta de números reales [matemática] (x, y, z) [/ matemática] y las tripletas que son solución para [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] son tripletes de modo que las dos primeras entradas están obligadas a satisfacer la ecuación del círculo, pero la tercera entrada puede tener cualquier valor que nos guste, ya que la ecuación para el cilindro no hace referencia a la variable [math] z [/ math]. Por lo tanto, podemos ver que una forma de generalizar un cilindro a dimensiones más altas sería usar la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemáticas] pero considerar todas las [matemáticas] n [/ matemáticas] -tuplas de números en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] que satisfacen esta ecuación. En este caso, sería más conveniente expresar la ecuación [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] como [matemática] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = 1 [/ matemática], y la [matemática ] n [/ math] -tuple se escribiría como [math] (x_1, x_2, \ dots, x_n) [/ math]. Matemáticamente, nuestra notación para este hipercilindro sería [matemática] S ^ 1 \ veces \ mathbb {R} ^ {n-2} [/ matemática] – esto sería un número infinito de copias de [matemática] (n-2 ) – [/ math] espacio dimensional dispuesto a lo largo de un círculo (no es lo más fácil de imaginar).
Sin embargo, otra generalización del cilindro a las dimensiones [math] n [/ math] estaría dada por [math] S ^ {n-2} \ times \ mathbb {R} ^ 1 [/ math]. S0 esto sería el producto de una esfera en [math] (n-2) [/ math] -dimensional space [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] con una copia de la línea real. La ecuación (estándar) que describiría esta hiper-superficie en [math] n [/ math] -dimensionals space sería [math] x_1 ^ 2 + x_2 ^ + \ cdots + x_ {n-1} ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Esta es exactamente la ecuación para la esfera [matemática] S ^ {n-2} [/ matemática] tal como cuando describimos el cilindro estándar en el espacio tridimensional usamos la ecuación para un círculo. En este caso, tendríamos una colección de copias de la línea real dispuesta a lo largo de [math] S ^ {n-2} [/ math]. Nuevamente, esto es difícil de visualizar incluso en el caso de 4 dimensiones. En este caso, podríamos considerar la esfera [matemática] S ^ 2 [/ matemática] y una copia de la línea real [matemática] \ mathbb {R} ^ 1 [/ matemática] adjunta a cada punto, y realmente cada línea debería no se cruza con ninguna otra línea (esto sería imposible en 3 dimensiones). No estoy seguro de qué tan útil es esto, pero [matemática] S ^ 2 \ veces (0, \ infty) [/ matemática] es igual (topológicamente) a todo el espacio tridimensional con el origen eliminado.
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