¿La desviación estándar teórica u observada tiene algún significado práctico cuando la distribución teórica u observada no es simétrica?

Sí, tiene sentido. Sin embargo, no es el significado que normalmente asociaría con la desviación estándar como medida de propagación. Si le interesa simplemente responder la pregunta “¿Qué tan extendida es la distribución de manera significativa?” y ve que los datos están sesgados, a menos que quiera y pueda transformar los datos en una distribución simétrica, podría usar algo basado en cuantiles.

La desviación estándar a menudo se usa para ver cuán sesgada es una distribución. Existe en el cálculo de los momentos superiores (y, por lo tanto, tiene una utilidad teórica, especialmente si desea entrar en propiedades asintóticas o está considerando distribuciones de muestreo), y puede usarse como una herramienta de diagnóstico (y por lo tanto tiene una utilidad empírica).

Sin embargo, un problema que he encontrado es que con bastante frecuencia las personas usan mal, por ejemplo, la desviación estándar, porque no verifican la distribución de los datos.

Suponga que la desviación cuadrática explica perfectamente su función de costo o riesgo. Por ejemplo, si tiene una presa que puede soportar x newtons de presión, una inundación que ejerza y ​​newtons de presión causa (xy) ^ 2 dólares de daño. Entonces, todavía está muy interesado en la desviación estándar de la distribución de X, porque le indica su pérdida esperada. Incluso la desviación estándar empírica le da una aproximación de su pérdida.

Hacer este cálculo funciona con variables aleatorias normales o extrañas sesgadas. La única diferencia con la variable aleatoria normal es que especifica completamente la distribución. Pero eso es realmente una exageración, si lo que te importa es el segundo momento.

Por supuesto, el SD es alwan is, y es el resultado de ciertos cálculos *. Pero usted preguntó sobre el “significado práctico” y eso dependerá de cuán no simétrica sea la distribución y de qué maneras.

Mi regla general es que si la media no tiene sentido, tampoco lo hace la SD, ya que la media es parte del cálculo de la SD. Sin embargo, la pregunta “cuando la media tiene sentido” depende de la pregunta que desea hacer, así como de la forma de la distribución.

Usualmente usamos el ingreso medio en lugar de la media, pero la media a veces tiene sentido. ¿Tiene sentido la SD? Bueno, cual es la pregunta?

Por lo general, queremos que la desviación estándar (de la población) mida qué tan “extendida” es una distribución. Para encontrarlo, calculamos la distancia cuadrada promedio de la media, luego tomamos la raíz cuadrada (para ponerla en las mismas unidades que los datos originales).

Si la distribución no es simétrica, la media puede no ser una buena medida del centro de los datos y, por lo tanto, la diferencia promedio de este valor puede no medir la dispersión muy bien. (Imagine un conjunto de datos con un punto periférico muy extremo y el resto de los puntos muy juntos; en este caso, podemos rechazar la media como medida de centro y la desviación estándar como medida de dispersión).

La desviación estándar puede perder significado como medida de propagación incluso cuando los datos son simétricos. Imagine un conjunto de datos con muchos puntos muy juntos y uno atípico a cada lado de este grupo, cada uno a la misma distancia. La media de los datos puede estar bien como medida del centro, pero las distancias al cuadrado de la media en sí son muy asimétricas. Aquí la distancia cuadrada promedio no refleja la distancia cuadrada “típica” de la media. En este caso, podríamos aceptar la media como una medida de centro pero rechazar la desviación estándar como una medida de propagación.

Me sorprende que nadie aquí haya mencionado la desigualdad de Chebyshev.

Resulta que, independientemente de la distribución , la desviación estándar proporciona límites (modestos) en la difusión de los datos.

Esto a veces se llama la “Regla 0 – 75 – 89”, porque estos son los porcentajes mínimos de datos que se encuentran dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media, respectivamente.