Entonces, en las teorías de calibre de Abelian, como la electrodinámica cuántica, había ciertas identidades que se podía demostrar que existían entre las funciones verdes generales como consecuencia de la invariancia de la teoría. La primera versión de estos en la electrodinámica cuántica se probó en la transferencia de momento cero y en realidad se generalizaron al caso de momento distinto de cero por un hombre llamado Green, no el mismo Green de las funciones verdes, sino AES Green, que era un estudiante de Max Born. Él los probó en un apéndice de un documento que escribió que fue rápidamente olvidado e ignorado.
Sin embargo, fueron publicados por Ward y Takahashi, quienes los redescubrieron a pesar de que Green lo había hecho primero y ya lo había publicado, y todos los conocían haciendo teoría de campo cuántico como las identidades Ward-Takahashi. Toman la forma de relaciones entre la función de vértice completo y el propagador de electrones completo, por ejemplo.
En una teoría de indicadores, el propagador perturbativo para los campos de indicadores, o la función de dos puntos libres para el campo de indicadores, que es el inverso del operador que se encuentra entre los términos en la acción que son cuadráticos en los campos de indicadores, no está bien definido . No puedes invertirlo. Pruébelo con QED y verá que es cierto de inmediato.
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Este es un gran problema para tratar la teoría en mecánica cuántica.
El operador no es invertible precisamente como consecuencia de la invariancia del medidor y la falta de masa del campo que están directamente conectados.
Para hacer que el propagador libre esté bien definido, se introduce un término de fijación del medidor en la acción, y esto viola la invariancia del medidor. Da a los campos un componente longitudinal. Pero parece violar la invariancia de calibre.
Sin embargo, se puede demostrar que los observables físicos son en realidad independientes de la fijación del medidor, y en realidad son invariantes del medidor. En las teorías abelianas, las llamadas identidades de Ward-Takahashi, que en realidad deberían llamarse identidades verdes, son las que permiten que esta prueba pase, y reducen el número de renormalizaciones independientes que se requieren en la teoría y también permiten la prueba de Renormalizabilidad.
En las teorías de calibre no abelianas hay una generalización de estas identidades llamadas identidades Slavnov-Taylor. Tal vez Slavnov y Taylor realmente probaron esto primero, pero tengo que preguntarme 😉
Tienen el mismo significado, pero son más complicados debido a la naturaleza no abeliana de los campos de calibración y requieren la introducción de campos fantasmas, los llamados fantasmas de Faddeev-Popov, para su prueba.
Puede inventar términos de fijación de medidores en las teorías abelianas que también requieren fantasmas, es solo que las formas más simples de hacer la fijación de medidores no requieren fantasmas, mientras que en el caso no abeliano necesita fantasmas incluso con los términos de fijación de medidores más simples. Todo el negocio está conectado con la falta de masa y el grado de libertad longitudinal no físico de los campos de medición, y con mucho la mejor discusión de todo fue dada finalmente por Teeny Veltmann y Gerard ‘t Hooft.
Y, por cierto, Faddeev y Popov tampoco fueron los primeros en saber acerca de los fantasmas. Feynman seguro ya los conocía y muchos otros también.
Ahora, como de costumbre, tal vez haya un nivel más profundo: el tratamiento general de tales teorías con invariancia de indicador se maneja mediante una cosa llamada invariancia BRST, que es una simetría que involucra la llamada acción cuántica, que en realidad es solo un acción que incluye la fijación del medidor y todos los fantasmas necesarios, de los cuales hay más en general que solo los de Faddeev y Popov, una acción cuántica que solo significa una acción que se puede poner en una ruta integral y cuantificada. Es una simetría que generalmente se toma como nilpotente de grado dos.
Los ST de BRST son, lo adivinaron, no Slavnov y Taylor, sino una S y T. diferente ¡No importa quién, ya hay demasiadas letras aquí!
Pero hay una interpretación geométrica de las identidades de Slavnov-Taylor, relacionada con la simetría BRST y con los movimientos de la superficie de fijación del medidor.
