En pocas palabras, la importancia del teorema es que la contribución anómala a la divergencia de la corriente axial que ocurre en una teoría simétrica quiral que está acoplada al electromagnetismo toma una forma muy simple que está relacionada con la contracción del tensor de fuerza del campo electromagnético contra sus constantes numéricas duales hasta simples.
Esta forma es independiente del esquema de regularización y se puede demostrar que se mantiene exactamente: es decir, en cualquier orden en la teoría de perturbaciones.
Sobre la base de las variaciones de la densidad lagrangiana, en la electrodinámica masiva del rotor, se espera tener una violación de la conservación de la corriente axial proporcional a la masa del fermión, ya que la masa del fermión viola la [matemática] U (1) \ veces U (1) [/ matemática] simetría quiral de la teoría. Esto se puede derivar fácilmente usando las ecuaciones clásicas de movimiento.
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[matemáticas] \ parcial_ \ mu j ^ \ mu_5 (x) = 2 im j_5 (x) [/ matemáticas],
con
[matemáticas] j ^ \ mu_5 (x) = \ bar {\ psi} (x) \ gamma_5 \ gamma ^ \ mu \ psi (x) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] j_5 (x) = \ bar {\ psi} (x) \ gamma_5 \ psi (x) [/ matemáticas].
Si uno combina el electromagnetismo con la teoría del spinor por la prescripción mínima de acoplamiento, para hacer una teoría con la invariancia local del medidor U (1), entonces es fácil calcular el diagrama del triángulo con la corriente axial en un vértice y las dos corrientes vectoriales en los otros dos vértices, y el resultado es una contribución anómala a la corriente axial, que toma la forma:
[matemáticas] \ Delta (\ partial_ \ mu j ^ \ mu_5 (x)) = \ frac {\ alpha} {4 \ pi} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} F ^ {\ mu \ nu} F ^ {\ alpha \ beta} [/ math].
Que tales términos surgieron en las teorías de campo a nivel cuántico que modificaron la forma de las relaciones de conservación actuales esperadas había sido un resultado bien conocido desde principios de la década de 1950, cuando Schwinger mostró por primera vez en la electrodinámica del rotor, utilizando una regularización de división de puntos, esos términos singulares en las corrientes podrían surgir debido a correcciones cuánticas. Pero el problema no estaba claro: no se entendía completamente si los términos anómalos eran simplemente un artefacto de la regularización, o cómo se comportarían una vez que se consideraran las correcciones radiativas de orden superior.
Lo que mostró el análisis de Adler y Bardeen fue que la contribución anómala de orden más bajo nunca se renormalizó a todos los órdenes en la teoría de perturbaciones, por lo que su forma de orden más baja, derivada del diagrama de triángulo en la electrodinámica del spinor, era válida para todos los órdenes en la teoría de perturbaciones.
Además, se demostró que la anomalía axial no era solo una consecuencia del corte de la teoría, sino que estaba claramente relacionada con una propiedad profunda de la teoría si dicho teorema funcionaba para todos los órdenes en la teoría de perturbaciones.
Su análisis fue un tour de force, pero el resultado se puede ver mucho más simple ahora, utilizando el enfoque integral de ruta para la cuantización de las teorías de calibre desarrolladas por Faddeev / Popov y otros. El trabajo posterior de Fujikawa demostró que el problema básico es una propiedad muy general de todas las teorías de calibre quiral con hiladores. Surge porque la medida integral del camino no es invariable bajo transformaciones axiales.
Por lo tanto, la teoría cuántica de los campos de calibre quirales generales acoplados a los hiladores en términos generales tendrá términos anómalos en las leyes de conservación actuales relacionadas con los campos de calibre. El hecho de que aparezca el doble del tensor de intensidad de campo también significa que también hay conexiones del término anómalo con configuraciones topológicas no triviales de los campos de medición.
Ha habido mucho trabajo extendiendo el teorema de Adler-Bardeen de muchas maneras. En algunos casos, estas anomalías son fatales para la teoría: rompen la invariancia del medidor y, por lo tanto, debe arreglarse mediante una elección juiciosa de las cargas de fermión que cancelen exactamente.
