Entiendo su problema y es desafortunado que la mayoría de los libros de texto pasen por alto las sutilezas de las diferencias entre las diferentes mediciones y no desarrollen una intuición al respecto. Sin embargo, los POVM no son entidades misteriosas. Son generalizaciones de los procedimientos de medición proyectiva de manera análoga a los operadores de densidad que son procedimientos de preparación generalizados y que tienen “estados puros” como sus elementos extremos: los estados con los que la mayoría de las personas están familiarizadas. Tampoco debería sorprendernos que la “transformación unitaria” estándar sea también un caso especial de tipos de transformación más generales llamados “Mapas CP”.
Las mediciones proyectivas son el tipo de medición más familiar que contiene operadores que se proyectan en el espacio propio de diferentes resultados experimentales. En caso de no degeneración, son simplemente operadores de rango uno. Para desarrollar una intuición sobre los POVM, puede comenzar pensando en cómo creó estados generalizados llamados “operadores de densidad”. Es similar en caso de medición. Para ver esto, puede imaginar [matemática] n [/ matemática] diferentes procedimientos de medición (proyectivos) dentro de una caja, cada uno de los cuales está asociado con un conjunto diferente de proyectores (suponga por simplicidad que el número de proyectores en cada conjunto es lo mismo para diferentes medidas). Dentro de la caja, hay un mecanismo que tira los dados y selecciona qué medición realizar. Sin embargo, dado que todo esto está encerrado en un cuadro negro, no se sabe desde fuera qué medida se implementó. Lo único que sabe son las probabilidades de obtener el primer resultado, el segundo resultado, etc., que pueden indicarse con luces de colores diferentes. Ahora, si le doy un procedimiento de medición (en términos de operador de densidad), entonces, ¿qué tipo de operadores puede usar que describa todo el cuadro? En otras palabras, le dice qué luz parpadeará con qué probabilidad.
Resulta que tales operadores generales son positivos, pero a diferencia de los operadores proyectivos (que son casos especiales), estos operadores no necesitan ser ortogonales entre sí. Estos operadores se denominan medidas positivas de valor del operador o POVM. Para averiguar cómo se verán explícitamente estos operadores en la configuración experimental anterior, debe encontrar la expresión para calcular la probabilidad de resultado [matemático] k [/ matemático], lo que puede hacer al multiplicar la probabilidad de realizar el [matemático] i [/ math] th medición por la probabilidad de resultado [math] k [/ math] dado que realizó la medición [math] i [/ math] th y luego sumando todos los [math] i [/ math] s.
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Una vez que calcule la forma general de la medida [matemática] E_ {k}, [/ matemática] no importa cuáles sean las medidas de proyección o los pesos dentro de la caja, siempre y cuando den el mismo conjunto de operadores que describe Las estadísticas de las linternas de la caja, al igual que una vez que tiene un operador de densidad, en general puede tener múltiples descomposiciones convexas de ese operador en términos de estados puros.
Otra forma de visualizar POVMs es imaginar enviar un estado al aparato de medición, que luego se combina con un estado de ancillia (que está dentro de la caja / aparato) y luego realizar una medición proyectiva conjunta en el par. Sin embargo, dado que la medición se realizó en un par, si se le solicita que proporcione un operador que describa las estadísticas del estado único que envió (recuerde que no sabe lo que sucede dentro de la caja), entonces lo hará de nuevo resulta que tal operador será POVM. Para descubrir la forma explícita en este caso, escriba la regla de Born estándar para medir el par y luego haga un seguimiento parcial sobre la base de ancilla.
La visualización posterior es especialmente útil debido a un resultado conocido como teorema de extensión de Naimark, que dice que para cada conjunto de operadores que satisfacen la definición de POVM, hay una manera de medirlo acoplando el sistema a un ancilla e implementando una medición proyectiva en el par. Sin embargo, tenga en cuenta que cada POVM que puede escribir no puede realizarse físicamente como una mezcla de mediciones proyectivas (en la forma que describí primero).
