Porque el álgebra lineal puede ahorrarte mucho trabajo. Permítanme ilustrar esto contándoles una historia sobre un proyecto en el que estoy trabajando, que analiza los límites de estabilidad de la ecuación
[matemáticas] y ” (t) + ay (t) + \ epsilon (\ sen 3t + \ cos 2t) y (t) = 0 [/ matemáticas]
Resulta que a lo largo de estos límites siempre existe una solución periódica [matemática] 4 \ pi [/ matemática], y puedo definir cualquier función periódica como una superposición de funciones básicas periódicas
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[matemáticas] y (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ \ infty a_n e ^ {int / 2} \ equiv \ sum a_n \ left | n \ right \ rangle [/ math]
y estamos en el negocio! Mi ODE ahora tiene una representación muy simple
[matemáticas] (\ mathbf {D} + a \ mathbf {I} + \ epsilon \ mathbf {C}) \ left | n \ right \ rangle = 0 [/ math]
donde [math] \ mathbf {C} [/ math] representa la acción de multiplicar por ese pecado y cos cosa allí arriba. Esto reduce inmediatamente el problema de estabilidad a un problema de valor propio. Y luego, si realmente necesito calcular manualmente la acción de [math] \ mathbf {C} [/ math], solo necesito hacer esto una vez:
[matemáticas] (\ cos 2t + \ sin 3t) e ^ {int / 2} = \ frac {1} {2} \ left [e ^ {i (n / 2- 2) t} + e ^ {i ( n / 2 + 2) t} + ie ^ {i (n / 2- 3) t} – ie ^ {i (n / 2 + 3) t} \ right] [/ math]
y convertirlo en notación ket
[matemáticas] \ mathbf {C} \ izquierda | n \ right \ rangle = \ frac {1} {2} (\ left | n-4 \ right \ rangle + \ left | n + 4 \ right \ rangle) + \ frac {i} {2} (\ left | n-6 \ right \ rangle – \ left | n + 6 \ right \ rangle) [/ math]
y de ahora en adelante tengo una manera mucho más simple de hacer un seguimiento de mis operaciones.
La notación es más fácil de escribir, lo que en muchos aspectos se relaciona con la forma en que expone el núcleo lógico de lo que estoy haciendo: escribiendo kets sé que estoy trabajando con una estructura vectorial sin necesidad de recordar que son exponenciales complejos periódicos. ejemplo, y podría adaptar esto a diferentes períodos de pecado y cos simplemente cambiando mis definiciones de kets sin modificar mi notación a escala completa.
El álgebra lineal es potente, y la notación de corchete es una forma muy elegante de representar vectores individuales, por lo que la notación de corchete siempre será muy elegante y poderosa.
