La respuesta del usuario 9479463705020282020 es excelente y solo quería agregar un par de detalles sobre su segundo párrafo para que el concepto de sujetador sea un poco más claro. De hecho, en Mecánica cuántica (y en la mayoría de las teorías de campo cuántico), el espacio de Hilts de kets [math] \ mathcal {H} [/ math] es isomorfo a su dual . Además, un sostén es un vector dual y este isomorfismo significa que para cada [matemática] | \ psi \ rangle [/ matemática], existe un sostén [matemática] \ langle \ psi | [/matemáticas].
Si conoce una buena cantidad de álgebra lineal elemental, salte a la línea discontinua.
La razón por la que la respuesta de Dan mencionó el “saludo manual” es porque, en general, un espacio vectorial de dimensiones infinitas no es isomorfo a su dual. No estoy seguro de cuánto álgebra lineal recuerdas, así que antes de continuar, definamos (un poco) sin rigor un vector dual. Recuerde que un espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] es un conjunto con una operación binaria conmutativa, asociativa e invertible [matemática] + [/ matemática] tal que si [matemática] v \ en V [/ matemática] entonces cualquier escalar múltiples [matemáticas] cv \ en V [/ matemáticas] para todos los números reales [matemáticas] c [/ matemáticas]. Un vector dual [math] \ tilde {v} [/ math] (terminología matemática: funcional lineal) es un mapa lineal que toma un vector [math] v \ in V [/ math] como entrada y produce un número real [ Nota matemática: esto puede ser generalizado; uno no necesita mapear a números reales]. Recuerde que un mapa [math] \ Lambda: V \ rightarrow W [/ math] entre el espacio vectorial [math] V, W [/ math] es lineal si:
- ¿Medir la trayectoria de un fotón desde un par enredado hace que el otro fotón pierda su patrón de interferencia?
- ¿La mecánica cuántica confunde 'conocimiento' con determinismo?
- ¿El universo orbita alrededor de algo?
- ¿Con qué debería familiarizarme antes de tratar de comprender la mecánica clásica?
- ¿Cuál es la forma más sencilla de explicar por qué el enredo cuántico impide la transmisión de información predeterminada (no aleatoria)?
[matemáticas] \ Lambda (v_1 + v_2) = \ Lambda (v_1) + \ Lambda (v_2), \ Lambda (cv) = c \ Lambda (v) [/ math]
para todos los vectores [matemática] v, v_1, v_2 [/ matemática] en [matemática] V [/ matemática] y números reales [matemática] c [/ matemática]. Ahora recuerde además que cada espacio vectorial tiene una base y si un espacio vectorial tiene un producto interno, entonces cada base da lugar a una base ortonormal (a través del Proceso de Graham-Schmidt). En el caso de una base ortonormal sobre un espacio vectorial de dimensión finita , [math] \ hat {e} _1, \ ldots, \ hat {e} _n [/ math], podemos construir algunos vectores duales bastante simples [math] \ hat {\ theta} ^ i [/ math] definiendo
[matemáticas] \ hat {\ theta} ^ i (\ hat {e} _j) = 1 [/ matemáticas] si [matemáticas] i = j [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 [/ matemáticas] de lo contrario
[Nota: la implementación de LaTeX de Quora es notablemente defectuosa y difícil de trabajar, por lo que no podría escribir esto con más elegancia]
Si denotamos el espacio de todos los vectores duales de [math] V [/ math] por [math] V ^ * [/ math], entonces resulta que [math] \ hat {\ theta} ^ i [/ math ] forman una base para [matemáticas] V ^ * [/ matemáticas].
Pero espere: supuse que la base es finita ya que estamos tratando con un espacio vectorial de dimensión finita. Los argumentos anteriores se desglosan cuando una base es de dimensión infinita.
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Genial, pero a quién le importa? ¿No siempre tratamos solo con espacios vectoriales de dimensiones finitas? No. En la mecánica cuántica, incluso el sistema más simple del oscilador armónico tiene un espacio infinito de posibles estados. Los físicos disfrutan representando las funciones de onda en términos de sus expansiones de Fourier, [math] \ psi (x) = \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} a_n e ^ {inx} [/ math]. Bueno, a partir de esto, es bastante claro que una base para el conjunto de funciones de onda (permitidas) debe [matemática] e ^ {inx} [/ matemática] para cada entero [matemático] n [/ matemático] de modo que esto debe ser un infinito- espacio dimensional
Ahora veamos por qué no tenemos que preocuparnos por los espacios duales. Cada vector [math] | \ psi \ rangle [/ math] corresponde a una función de onda [math] \ psi (x) [/ math]. Además, recuerde que la densidad de probabilidad asociada a una función de onda es [matemática] | \ psi (x, t) | ^ 2 [/ matemática] y que la probabilidad total debe ser 1. Esto significa que la integral [matemática] P (t ) = \ int d ^ 3 x | \ psi (x, t) | ^ 2 [/ math] debe ser finito para que podamos multiplicar [math] P [/ math] por una constante [math] c [/ math] para que [matemáticas] cP = 1 [/ matemáticas]. Esto significa que nuestro espacio vectorial es el conjunto de funciones integrables al cuadrado , p. Ej.
[matemáticas] f \ in \ mathcal {H} \ iff \ int | f | ^ 2 d \ mu <\ infty [/ math]
Tenga en cuenta que no hice suposiciones sobre la continuidad o la suavidad . El conjunto más general de funciones en el que existe una integral es el conjunto de funciones medibles en relación con una medida [math] \ mu [/ math]. Los matemáticos denotan este espacio [matemática] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemática] en honor del matemático francés Henri Lebesgue. [Nota: supongo que [math] X [/ math] es un espacio métrico de Hausdorff, pero esto siempre es cierto en la mecánica cuántica ya que [math] X = \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]] se convierte que este espacio tiene un producto interno natural:
[matemáticas] \ langle f | g \ rangle = \ int fg d \ mu [/ math]
y que [matemática] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemática] está completa en la norma inducida por este producto interno. Tal espacio vectorial que se completa en la norma inducida por un producto interno se llama Espacio de Hilbert . En la mecánica cuántica, la mayoría de los espacios de Hilbert son de dimensión infinita (utilizamos aproximaciones, por ejemplo, teoría de perturbaciones, para tratar solo con espacios vectoriales de dimensión finita para que los cálculos sean más fáciles). Una característica muy agradable de [matemáticas] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemáticas] (que no se comparte con los otros espacios [matemáticas] L ^ p [/ matemáticas]) es que el espacio dual [matemáticas] \ left (L ^ 2 (X, \ mu) \ right) ^ * [/ math] es isomorfo a [math] L ^ 2 (X, \ mu) [/ math]. El ingrediente clave para mostrar esto es un teorema llamado Teorema de Representación de Riesz que dice que cada funcional lineal puede ser representado por una integral.
De acuerdo … ¿y qué? Esto nos permite asociar a cada ket [math] | \ psi \ rangle [/ math] un sostén [math] \ langle \ psi | [/ math] tal que
[matemáticas] \ langle \ psi | \ psi \ rangle = \ int d ^ 3 x | \ psi (x, t) | ^ 2 [/ math]
Por lo tanto, la notación de corchetes es una forma de barrer todo este fondo debajo de una alfombra para hacer que los cálculos MUCHO sean más fáciles y más transparentes. Sin embargo, en la mecánica cuántica no hay agitación de la mano . (En la teoría del campo cuántico, ciertamente hay algunos movimientos manuales ya que Feynman Path Integral todavía está “mal definido” para los matemáticos)
Una última cosa a tener en cuenta: los Bras y Kets generalmente se definen sobre espacios separables de Hilbert, que tienen una versión de dimensión infinita del teorema espectral para matrices, excepto que se aplica al Hermitiano compacto y densamente definido (simétrico Y autoadjunto; hay una distinción desde el caso de dimensiones finitas) operadores. Esto permite la definición inequívoca de expectativa de un operador densamente definido, por lo que la expresión [matemáticas] \ langle \ psi | \ hat {H} | \ psi \ rangle [/ math] tiene un espectro no trivial y una representación proyectiva que es análoga a “multiplicar” una matriz por una matriz diagonalizada. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Spe…
