¿Cómo multiplicas dos números? Por qué, es fácil. [matemáticas] 5 \ veces 3 = 15 [/ matemáticas]. [matemáticas] 7 \ veces 7 = 49. [/ matemáticas] [matemáticas] A \ veces B = AB [/ matemáticas], la abreviatura habitual para la multiplicación en matemáticas.
¿Cómo multiplicas dos vectores? No tan fácil. Un vector está representado por una fila o columna de números. Diga, [matemáticas] [1 ~ 2 ~ 3] [/ matemáticas]. Multiplique esto por [matemáticas] \ begin {bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \ end {bmatrix} [/ math]. ¿Cómo lo haces?
Hay diferentes formas Olvídate del producto cruzado, que nos llevaría a un territorio completamente diferente. Pero digamos, podrías formar algo como esto:
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[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 \ times 4 & 2 \ times 4 & 3 \ times 4 \\ 1 \ times 5 & 2 \ times 5 & 3 \ times 5 \\ 1 \ times 6 & 2 \ times 6 & 3 \ times 6 \ end {bmatrix}. \ tag *{}[/matemáticas]
Es decir, formamos una matriz que contiene todas las combinaciones posibles de elementos de los dos vectores, dispuestos de tal manera que la columna [math] i [/ math] -th del vector de la primera fila y la [math] j [/ math] -th fila del segundo vector de columna corresponde al elemento en la [math] i [/ math] -th columna, [math] j [/ math] -th fila de la matriz resultante.
Pero, apuesto a que esto no es lo primero que se te ocurre cuando hablo de multiplicar vectores. Mucho más probable, es el producto interno [matemáticas] 1 \ veces 4 + 2 \ veces 5 + 3 \ veces 6 [/ matemáticas]. Esta suma sobre los índices es, en realidad, la contracción del índice. Y no se confunda por el hecho de que usé vectores en este ejemplo; los vectores son solo un caso especial (simple) de tensores; es decir, los vectores son tensores de rango 1.
Simbólicamente, si denoto mi primer vector como [math] a_i [/ math] (con [math] i [/ math] corriendo entre 1 y 3 para indicar los tres elementos del vector de fila) y el segundo como [math] b ^ j [/ math] (nuevamente con [math] j [/ math] corriendo entre 1 y 3; el índice superior aquí no es exponenciación, la posición del índice indica que este es un índice que cuenta filas en un vector de columna), los elementos de la matriz del producto están dados por
[matemáticas] C_i ^ j = a_ib ^ j. \ tag * {} [/ matemáticas]
En contraste, el producto interno se forma como la suma
[matemáticas] c = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ 3a_ib ^ i. \ tag * {} [/ matemáticas]
En sumas como esta, el signo de suma a menudo se omite (convención de suma de Einstein). La aparición del mismo índice en una posición superior e inferior implica una suma:
[matemática] a_ib ^ i \ stackrel {\ rm def} {=} \ sum \ limits_ {i = 1} ^ Da_ib ^ i, \ tag * {} [/ math]
donde ahora usé el símbolo [math] D [/ math] para representar las dimensiones de los vectores en cuestión, que no necesitan ser 3, ya que estos conceptos funcionan en espacios de dimensiones arbitrarias.
Esto puede extenderse a matrices (tensores) de rango superior. Por ejemplo, la multiplicación matricial ordinaria, con la que supongo que está familiarizado, se puede escribir como
[matemáticas] C_i ^ j = A_k ^ jB_i ^ k. \ tag * {} [/ matemáticas]
¿Por qué se llama contracción de índice? Bueno, observe cómo en estas expresiones el resultado tiene menos índices que los términos originales. Por ejemplo, multiplicamos dos matrices, cada una de las cuales tiene dos índices; pero el resultado solo tiene dos índices, no cuatro, porque dos de los índices fueron contratados, es decir, resumidos.
Un tensor puede tener muchos índices, por supuesto. (El número de índices sería el rango del tensor, también llamado orden, o grado, en algunos de los documentos). Y si un tensor tiene al menos un índice superior y un índice inferior, es posible sumar solo esos índices. A modo de ejemplo, en la geometría riemanniana existe el tensor que describe la curvatura, un tensor de rango 4, [matemática] R ^ i_ {jkl} [/ matemática]. Sin embargo, para muchas aplicaciones se usa el tensor Ricci, que es una forma contraída del tensor de curvatura, [matemática] R_ {jl} = R ^ i_ {jil} [/ matemática]. Explicado en su totalidad, significa que estamos sumando dos de los índices del tensor de curvatura:
[matemáticas] R_ {jl} = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ DR ^ i_ {jil}. \ tag * {} [/ matemáticas]
Finalmente, para un tensor de rango 2 (una matriz), la suma de sus índices produce un escalar, que es el rastro de ese tensor:
[matemáticas] {\ rm tr} ~ A = A_i ^ i = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ DA_i ^ i. \ tag * {} [/ matemáticas]
