TL; DR: estar en un potencial gravitacional hace que el tiempo se mueva más lentamente en relación con el tiempo que se mide lejos de cualquier cosa.
Esto se llama efecto de dilatación del tiempo gravitacional debido a la teoría de la relatividad general de Einstein.
La dilatación del tiempo gravitacional ocurre en la Tierra (aunque apenas es medible) pero alrededor de objetos compactos masivos, como los agujeros negros, el efecto puede ser más significativo.
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- ¿Podrías ver un agujero negro con suficiente exposición?
- ¿Qué avances se han hecho en la relatividad general desde que Einstein se le ocurrió por primera vez?
- Cuando la luz visible pasa el horizonte de eventos, no puede escapar de la gravedad del agujero negro. ¿Qué pasa después? ¿Se reunirá la luz en la singularidad y permanecerá para siempre, haciendo que la singularidad sea luminiscente?
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La magnitud del efecto gravitacional alrededor de una masa esférica es
[math] \ gamma _ {\ text {GR}} = \ frac {1} {\ sqrt {1 – \ frac {2 GM} {rc ^ 2}}} [/ math]
Esto significa que si está a una distancia r de un cuerpo de masa M, su tiempo corre un factor de [math] \ gamma _ {\ text {GR}} [/ math] más lento que si estuviera muy lejos del objeto. G es la constante gravitacional de Newton y c es la velocidad de la luz.
La dilatación del tiempo gravitacional es similar en concepto al efecto de dilatación del tiempo más estándar en la Relatividad Especial, donde un cuerpo que se mueve con respecto a usted hará que sus relojes ejecuten un factor de [matemáticas] \ gamma _ {\ texto {SR}} [/ matemáticas] más lento con
[math] \ gamma _ {\ text {SR}} = \ frac {1} {\ sqrt {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ math]
donde v es la velocidad relativa de usted y el otro cuerpo.
En la superficie, los efectos de dilatación del tiempo Relativista Especial y Relativista General parecen bastante diferentes porque uno tiene que ver con el movimiento relativo y el otro tiene que ver con la gravedad, comienzan a ser más similares cuando comienzas a reescribir [matemáticas] \ gamma_ { \ text {GR}} [/ math] usando la velocidad de escape de un objeto masivo
[matemáticas] v _ {\ text {esc}} = \ sqrt {\ frac {2 GM} {r}} [/ matemáticas]
Si recuerdas, la velocidad de escape es qué tan rápido tienes que lanzar un objeto para escapar de la atracción gravitacional de un cuerpo. Para la Tierra, la velocidad de escape es de 11.2 kilómetros por segundo, que es de 25000 millas por hora, razón por la cual los cohetes tienen que ser tan grandes.
Sustituyendo la velocidad de escape en el efecto de dilatación del tiempo por Relatividad General se obtiene
[matemáticas] \ gamma _ {\ text {GR}} = \ frac {1} {\ sqrt {1 – \ frac {v _ {\ text {esc}} ^ 2} {c ^ 2}}} [/ math]
Si compara esto con la constante de dilatación del tiempo de relatividad especial, la velocidad de escape puede verse como la velocidad relativa. No debe llevar esto demasiado lejos y pensar que un cuerpo se mueve con una velocidad [matemática] v _ {\ text {esc}} [/ matemática], pero solo observe las similitudes estructurales. El efecto de dilatación del tiempo depende de la velocidad de escape en comparación con la velocidad de la luz, que es de 300,000 kilómetros por segundo.
Cuando las velocidades de escape son pequeñas, podemos aproximar el efecto de dilatación del tiempo con una serie de Taylor para dar
[matemáticas] \ gamma _ {\ text {GR}} \ simeq 1 + \ frac {v _ {\ text {esc}} ^ 2} {2 c ^ 2} + \ ldots [/ math]
Podemos conectar la velocidad de escape de la Tierra y la encontramos para la Tierra
[math] \ gamma _ {\ text {GR}} = 1 + 7 \ times 10 ^ {- 10} [/ math]
Esto significa que ahorramos aproximadamente 1 parte en mil millones de veces en relación con un objeto distante, que es de aproximadamente 22 milisegundos por año. No es necesario decir que este no es un efecto masivo, pero para una sincronización precisa, debemos tener esto en cuenta.
Alrededor de los tipos más simples de agujeros negros (llamados agujeros negros de Schwartzschild), hay una órbita más interna que es lo más cercano que puede estar un cuerpo antes de que inevitablemente entre en espiral en el agujero negro. Esta órbita más interna es donde
[matemáticas] r = \ frac {6 GM} {c ^ 2} [/ matemáticas]
o donde[*]
[matemáticas] v _ {\ text {esc}} ^ 2 = \ frac {c ^ 2} {3} \ quad \ Rightarrow \ quad \ gamma _ {\ text {GR}} = \ sqrt {\ frac {3} {2 }} \ simeq1.22 [/ math]
Esto es bastante grande en comparación con la Tierra y ciertamente lo notarías: el año en este planeta sería de casi 15 meses para observadores distantes. Pero esto no es tan grande como los efectos de dilatación del tiempo que aparecen en Interestelar, que son
[matemática] \ gamma _ {\ text {GR}} = \ frac {7 \ text {años}} {1 \ text {hora}} \ simeq 60,000 [/ math]
Para obtener este tipo de efectos de dilatación del tiempo, debe ir a agujeros negros muy especiales llamados agujeros negros de Kerr-Newman “casi extremos”. Estos son agujeros negros que giran hasta el punto de que casi se están desgarrando (de ahí proviene el término “extremal”, un extremo es un agujero negro que gira lo más rápido posible). Entonces tienes que estar en una órbita justo afuera del agujero negro, hasta el punto en el que estás en peligro real de caer. Es matemáticamente posible, pero es una circunstancia bastante improbable. Realmente te preocuparía que si hubiera alguna fricción por el polvo, todo el planeta podría perder velocidad y caer en espiral de inmediato en su destino.
Un problema tecnológico importante es que puede ver que si termina en un lugar con una dilatación del tiempo gravitacional tan grande, alejarse de ella requiere que adquiera una velocidad de escape que sea casi la velocidad de la luz. Así que realmente debes preguntarte cómo esa pequeña nave espacial regresó a la nave principal porque tuvo que adquirir esa velocidad de escape.
Una estimación de la cantidad de energía necesaria para escapar es
[matemáticas] E = \ gamma _ {\ text {GR}} \; m _ {\ text {ship}} \; c ^ 2 [/ matemáticas]
Digamos que el barco es de 10 toneladas, requeriría aproximadamente 10 ^ 25 julios. Esta es una cantidad de energía que va mucho más allá de la comprensión humana. La cantidad de energía que la civilización humana consume hoy es de 10 ^ 20 julios por año. Entonces esto sería aproximadamente 10 ^ 5 años de energía. Esa es la energía total que el sol entrega a la Tierra cada segundo, todo comprimido en una pequeña nave espacial.
Lo que debería quedar claro de esto es que la dilatación del tiempo no está siendo causada por la gravedad del primer planeta, que tenía una gravedad superficial que era 1.3 veces la gravedad de la Tierra y esto significa (después de un poco de álgebra) que la velocidad de escape 1.3 veces la La velocidad de escape de la Tierra (suponiendo que la densidad de los dos planetas es la misma) o que la dilatación del tiempo del planeta es 1.7 veces la de la Tierra (dos veces insignificante sigue siendo insignificante).
La dilatación del tiempo experimentada en el primer planeta está siendo causada por Gargantua, que es un agujero negro de masa solar de 100M. Estos tipos de agujeros negros existen en los centros de las galaxias y, sorprendentemente, pueden girar bastante rápido, a menudo más del 90% de la velocidad de rotación máxima. Debe tener aproximadamente 1 – 1 / [matemática] \ gamma [/ matemática] de extremalidad para obtener dilataciones de [matemática] \ gamma [/ matemática], lo que sería algo así como 0.9999 para Gargantua.
[*] Esto es un poco inexacto para un cuerpo en órbita alrededor de un agujero negro porque tienes múltiples efectos que contribuyen a la dilatación del tiempo, esto es cierto para un cuerpo que cuelga a esta distancia fuera del agujero negro.