¿Cómo saben los matemáticos teóricos que son correctos?

Los experimentos no son necesarios. La matemática pura trata en gran medida de la validez: los teoremas son “objetos” de la forma , donde el enunciado es una oración bien formada en un lenguaje simbólico que presenta algunos supuestos / axiomas y algo no necesariamente obvio que se desprende de ellos , y la prueba es una serie de oraciones bien formadas que conectan los supuestos / axiomas a través de reglas de inferencia con la parte final de la declaración sin contradicciones.

La validez de un teorema se reduce a su estructura , no al significado asociado con ningún objeto mencionado dentro de él. La siguiente declaración es una tautología:

[matemáticas] ((A \ implica B) \ tierra A) \ implica B [/ matemáticas].

No importa a qué se refieren [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]. Siga la tabla de verdad: no importa lo que se elija para [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] (como proposiciones en un sistema lógico booleano con las reglas normales de inferencia), la afirmación anterior tiene un positivo valor de verdad. Esto no necesita un experimento para verificar. El “cheque” es el conjunto de argumentos que establece que es una tautología.

Entonces [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas] es la declaración de un teorema que puede probarse a partir de los axiomas de Peano (y algunos otros sistemas axiomáticos). Un experimento para “verificar” requiere más axiomas y definiciones, como “un número está representado por el conteo de rocas en una canasta” y “la suma de números es combinar el contenido de las canastas”. Luego, debido a la naturaleza física de las rocas, los axiomas de Peano hacen un buen trabajo al modelar la forma en que las rocas se pueden “agregar” en cestas (siempre que el número y el volumen de rocas no sea demasiado grande …). Pero no funciona tan bien si las rocas se reemplazan por gotas de agua, y la operación “más” se reemplaza por “poner en el mismo dedal”. Entonces tendría un sistema donde [matemáticas] 1 + 1 = 1 [/ matemáticas]. Pero entonces tal vez recuperaría algo que podría ser modelado por los axiomas de Peano si reemplazara “gotas de agua” por “mililitros de agua” (incluso podría hacer la división en dicho sistema).

Pero ahí está el punto: las matemáticas son abstractas. Un teorema válido es “verdadero” por su forma , no por su contenido . La “verdad” como tal, prácticamente no entra en ella. La física es donde se pueden aplicar algunas teorías matemáticas, empleando estos supuestos físicos.

“Su tema es el más curioso de todos: no hay ninguno en el que la verdad juegue bromas tan extrañas”. – GH Hardy

Estar equivocado es vergonzoso, pero construye carácter. Las siguientes son dos formas comunes en que las teorías matemáticas pueden ser incorrectas.

1. La teoría trata sobre un conjunto [matemático] S [/ matemático] de estructuras matemáticas que satisfacen ciertas condiciones. Pero resulta que estas condiciones implican que [matemática] S = \ {\} [/ matemática]. Esto significa que cualquier teoría o teorema que caracterice los elementos de este conjunto es trivialmente cierto. El gráfico nulo es un concepto sin sentido.
2. La teoría no nos dice nada nuevo o se usa para probar algo que es más fácil de probar sin usar la teoría. Por ejemplo, uno podría afirmar que para dos números primos [matemática] x

A veces una idea interesante resulta estar equivocada. Pero en matemática teórica, lo que sea que hizo la idea intrigante en primer lugar, por lo general, seguirá ahí. Si sigue trabajando, siempre puede encontrar una teoría relacionada que sea correcta. Por esta razón, no solemos obsesionarnos con tener solo teorías correctas en matemáticas.

No existe la matemática teórica, porque no existe la matemática experimental (bueno, sí existe, pero tiene que ver con encontrar contraejemplos de teoremas aún no comprobados).

La matemática comienza con un conjunto de axiomas. Estas son declaraciones que se aceptan y no se hace ningún intento para probarlas. Las declaraciones son simples y parecen estar de acuerdo con el comportamiento del universo. Lo que se examina es si son independientes entre sí (ninguno de ellos se puede probar de los demás).

El resto de las matemáticas se deriva de los axiomas a través de las (también) aceptadas leyes de la lógica. Por supuesto, las pruebas de declaraciones complejas se basan en pruebas más simples. Para que se acepte una prueba, se verifica que haya seguido todas las reglas de derivación de otros matemáticos. A menudo se descubren errores y luego se intenta solucionar el problema utilizando métodos alternativos.

La experimentación para verificar una prueba no se realiza ya que ninguna cantidad de experimentos exitosos dará como resultado una prueba. Cuando no hay una prueba válida (¿todavía?), El enunciado se llama una conjetura en lugar de un teorema. Los experimentos son a veces hechos. Esto puede aumentar nuestra creencia de que la conjetura es de hecho un teorema … pero nunca lo diremos hasta que se encuentre una prueba real y se acepte como correcta.

Los matemáticos hacen un trabajo tan excelente al generar conjeturas matemáticas y probarlas o refutarlas, y tratan de manera tan exhaustiva los axiomas y (ciertas) definiciones, es una maravilla que no pasen al menos un poco de tiempo desarrollando definiciones acordadas de verificación y validez en Matemáticas y la llamada verdad matemática .

El último término es particularmente problemático debido a la facilidad con la que se confunde con la verdad científica que es un caballo de un color diferente. Las matemáticas harían bien en desistir del uso del término verdad por completo. El uso del término en referencia a las matemáticas es engañoso y contraproducente. La terminología en cualquier campo especializado es de considerable importancia. Este término no tiene un lugar legítimo en las matemáticas. Hablar de “valor de verdad” en relación con el álgebra booleana es una cosa y legítima, pero hablar de “verdad” es otra muy distinta.

Hasta que se demuestre que están equivocados, se disputan sus medios de difusión matemática. El trabajo está en sus normas, más destacado en la universidad de investigación y las instituciones de investigación teórica. Si alguien no está de acuerdo con las matemáticas, aísle el problema y lleve la disputa a la comunidad matemática normal. El asco personal, como la mayoría de las cosas, no cambia mucho la norma de la comunidad, a menos que sea profunda y convincente y no se pueda negar su verdad inherente. Estos pequeños cristales se diseminan rápidamente entre las comunidades informales y pueden llegar a la sociedad arcana del matemático.

El secreto está en el uso que hace el matemático de las pruebas. Un matemático puede hacer conjeturas, pero todo lo definido se basa en la existencia de una prueba. Una prueba comienza con antecedentes, que son cosas que se presumen verdaderas (a menudo otros teoremas), y luego se usan reglas lógicas de inferencia para derivar nuevas verdades de las viejas. Si rastrea todo, eventualmente llega a la base de la teoría matemática: los axiomas. Un axioma es algo que asumimos sin pruebas. Por ejemplo, podríamos suponer que existe el conjunto vacío. Podríamos suponer que un operador binario es asociativo. Podemos suponer que cada uno de algún tipo de espacio tiene al menos un punto. Los axiomas están configurados principalmente para que no puedas derivar uno de los demás, ya que podríamos dejar de asumir ese axioma sin perder generalidad.

La belleza de usar pruebas es que cualquiera puede verificar teóricamente una prueba cuando se presenta en su totalidad. Esto proporciona una capa de transparencia para las matemáticas: nadie puede mentir y aún tener una prueba válida. Es una estructura de verdad que nos permite centrarnos en progresar en lugar de preocuparnos por la veracidad.