Los twistors implican un poco de sofisticación matemática que oscurece su razón de ser . Teniendo esto en cuenta, volvamos a lo que puede describirse como el análogo real de la transformación de twistor, a saber, la transformación de rayos X, y tratemos de entender el punto de todo en una configuración más simple.
(Debo enfatizar que no reclamo crédito por lo que sigue; este es un tratamiento que le robo a Dunajski).
La transformación de rayos X toma una función [matemática] f [/ matemática] definida en [matemática] \ mathbb R ^ 3 [/ matemática] y escupe una función [matemática] \ phi [/ matemática] definida en el espacio de orientación líneas en [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math] vía
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[matemáticas] \ phi (L) = \ int_L f [/ matemáticas]
donde [math] L [/ math] es una línea orientada en [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math] y la notación de la derecha significa integrar la función a lo largo de la línea [math] L [/ math]. Entonces, si piensa en [matemáticas] f [/ matemáticas] como una función que caracteriza la atenuación de los rayos X debido a la presencia de tejidos blandos o huesos, entonces la transformación de rayos X le brinda la información que puede capturar al enviar X -rays a través de alguien.
Veamos la dimensión de los dos espacios que relaciona esta transformación. Por un lado está [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math], que tiene dimensión [math] 3 [/ math], mientras que por otro lado está el espacio de sus líneas orientadas que tiene dimensión [math] 4 [/ matemáticas]. Para ver esto, arregle dos planos paralelos y observe que el conjunto de líneas no paralelas a los planos está en biyección con el conjunto de pares de puntos, uno en cada uno de los dos planos paralelos. El conjunto de líneas paralelas a los planos es de medida cero (y, por lo tanto, puede ignorarse en lo que respecta a la dimensión) y el conjunto de líneas orientadas es solo una doble cubierta. Entonces, el espacio de líneas tiene una dimensión [matemática] 4 [/ matemática], una más que la de [matemática] \ mathbb R ^ 3 [/ matemática]. Entonces, si una transformación de rayos X va a tomar una función arbitraria [matemática] f [/ matemática] en un espacio de dimensión [matemática] 3 [/ matemática] como entrada y asigne una función [matemática] \ phi [/ matemática] en un espacio de dimensión [matemática] 4 [/ matemática] como salida, entonces [matemática] \ phi [/ matemática] debe obedecer una sola restricción.
Ahora tratemos de ver cuál es esta restricción. Para este fin, parametrizamos las líneas orientadas en una vecindad de una línea orientada fija de la siguiente manera: dejemos que las coordenadas [matemáticas] (\ alpha_1, \ beta_1,0) [/ matemáticas] describan la intersección de [matemáticas] L [/ matemáticas ] con el primer plano (cuya tercera coordenada tomamos como [math] 0 [/ math]) y [math] (\ alpha_2, \ beta_2,1) [/ math] describen la intersección con la segunda (cuya tercera coordenada tomamos como [matemáticas] 1 [/ matemáticas]). Entonces la transformación de rayos X puede escribirse explícitamente como
[math] \ phi (\ alpha_1, \ beta_1, \ alpha_2, \ beta_2) = [/ math] [math] \ int f (\ alpha_1 + s \ alpha_2, \ beta_1 + s \ beta_2, s) \, \ mathrm ds. [/ math]
Ahora diferenciamos bajo la integral para ver que
[math] (\ partial _ {\ alpha_1} \ partial _ {\ beta_2} – \ partial _ {\ alpha_2} \ partial _ {\ beta_2}) \ phi = 0. [/ math]
Luego seguimos esto con un cambio de variables
[matemáticas] \ alpha_1 = x_1 + t_1, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ beta_2 = x_1 – t_1, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ alpha_2 = x_2 + t_2, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ beta_2 = – x_2 + t_2, [/ matemáticas]
y algún abuso de notación que nos da la siguiente ecuación diferencial para [math] \ phi [/ math]
[matemática] (\ partial_ {x_1} ^ 2 + \ partial_ {x_2} ^ 2- \ partial_ {t_1} ^ 2- \ partial_ {t_2} ^ 2) \ phi = 0. [/ matemática]
Esto es más o menos una ecuación de onda con dos direcciones temporales. Entonces, lo que hemos encontrado es que las soluciones a la ecuación de onda en un espacio-tiempo [matemático] (2,2) [/ matemático] (que podríamos considerar como un haz de rayos de luz escalares) corresponden a funciones no restringidas en el original [matemáticas] \ mathbb R ^ 3 [/ matemáticas] comenzamos con.
Implica un considerable legerdemain de geometría compleja para establecer un análogo de esto de manera que (a) terminemos no con una ecuación de onda para [math] (2,2) [/ math] spacetime sino una para el más familiar [math] (1,3) [/ matemáticas] espacio-tiempo, y (b) la restricción no es la ecuación de movimiento para un escalar de Klein-Gordon sin masa, sino para un fotón de calibre. Lo que tenemos en lugar de [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math] se llama espacio twistor (tenga en cuenta que la complejación y los grados adicionales de polarización de libertad significan que el espacio twistor debe tener una dimensión compleja [math] 4 [/ math] )
Para resumir, el espacio de torsión es un espacio en el que las funciones sin restricciones representan haces de rayos de luz en el espacio-tiempo que habitamos.
