Siempre que calcule un momento de inercia, debe considerar un elemento cuyo momento de inercia ya conoce, y agregar un número infinito de tales elementos puede ayudarlo a obtener la forma que necesita.
La opción más obvia es un anillo, porque puedes imaginar anillos infinitos (de diferentes radios) a lo largo del hemisferio.
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Por supuesto, se supone que [math] Rd \ theta [/ math] es infinitesimalmente pequeño y denota el grosor del anillo.
Sabemos que el momento de inercia de un anillo (alrededor de un eje que pasa por su centro perpendicular a su plano) viene dado por:
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int MR ^ 2 [/ matemáticas]
Donde [math] M [/ math] es la masa del anillo y [math] R [/ math] es su radio, y [math] \ theta [/ math] es el ángulo barrido por el radio desde el eje de rotación .
Para el anillo infinitesimalmente delgado que tenemos en nuestra figura, la misma ecuación se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle I = dm \, (Rsin \ theta) ^ 2 [/ matemáticas]
donde [math] dm [/ math] es su masa y [math] R [/ math] es el radio de la esfera.
Para sacar el [math] dm [/ math] suponemos que la esfera hueca es homogénea. Y como no tiene volumen (por definición), la masa se distribuye equitativamente alrededor de su área de superficie.
Entonces [math] dm = \ dfrac {M} {2πr ^ 2} \, \ cdot \, dA [/ math]
Y [matemáticas] dA = \ text {circunferencia del anillo} \ times \ text {espesor} = 2πRsin \ theta \ cdot \, Rd \ theta [/ math]
Entonces el momento de inercia del anillo elemental se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {M} {2πR ^ 2} \ cdot \, 2πRsin \ theta \ cdot \, Rd \ theta (Rsin \ theta) ^ 2 [/ math]
Y si lo integra, con límites de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] \ frac {π} 2 [/ matemáticas], obtendrá:
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_ {0} ^ {\ frac {π} 2} MR ^ 2 sin ^ 3 \ theta d \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = MR ^ 2 \ int_ {0} ^ {\ frac {π} 2} \ dfrac {3sin \ theta – sin (3 \ theta)} {4} \, d \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica I = MR ^ 2 \ cdot \, (\ dfrac {3 [-cos \ theta] _ {0} ^ {\ frac {π} 2}} {4} – \ dfrac {[- cos ( 3 \ theta)] _ {0} ^ {\ frac {π} 2}]} {12}) [/ math]
[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {MR ^ 2} {4} \ dfrac {8} {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {2} {3} MR ^ 2 [/ matemáticas]
Por supuesto, en lugar de extraer ángulos, podría haber integrado la distancia perpendicular del anillo desde el centro geométrico de la esfera y (después de ajustar con el Teorema de Pitágoras) alcanzó el mismo resultado.
Y de hecho, normalmente lo hubiera hecho. Pero esto da una integral mucho más fácil de calcular.
Editar: Me di cuenta de que la pregunta pedía una hemi esfera. Actualizado en consecuencia.
