Me encantan las preguntas como estas; me hacen repensar las preguntas de por qué no he tenido en años.
En particular, esta pregunta me hizo pensar en por qué las direcciones ortogonales son independientes, es decir, de qué se trata la estructura subyacente de nuestro mundo que impide que la fuerza en la dirección z afecte la velocidad en las direcciones x o y. Dejando a un lado la respuesta de “porque así son las cosas” (y lo es), de hecho hay una intuición más profunda que se puede obtener aquí.
Uno de los principales temas subyacentes de la física es la simetría . De hecho, se podría argumentar que la búsqueda de simetrías y asimetrías en nuestro mundo es la definición misma de la física.
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Para poner esta pregunta en contexto, consideremos el mundo en el que tiene lugar. Eliminando todas las características mínimas excepto las simples, nos quedamos con el suelo, una bala moviéndose a cierta velocidad paralela al suelo y una fuerza (gravitacional) que tira la bala hacia el suelo. Probablemente también deberíamos suponer que la bala y el suelo interactúan de manera que, cuando la bala llega al suelo, su movimiento cambia.
En otras palabras, nuestro mundo entero es este:
¿Qué simetrías hay en nuestro mundo? Primero, tenga en cuenta que no importa dónde, horizontalmente, coloquemos la bala. Es decir, nuestro mundo no cambia en absoluto si decidimos que la bala debe comenzar cinco millas hacia la izquierda o hacia la derecha; Nuestro mundo sigue siendo exactamente el mismo. Para usar el término técnico, tenemos una simetría traslacional continua en la dirección x.
Tenga en cuenta que este no es el caso en la dirección z. Si comenzamos la bala más lejos del suelo, tiene más que caer antes de aterrizar. Como tal, pasará más tiempo acelerando hacia abajo (golpeando el suelo viajando a una velocidad más rápida) y más tiempo viajando hacia adelante (aterrizando más a la derecha desde donde comenzó). También es digno de mención que el campo gravitacional es perpendicular al suelo; es decir, la fuerza apunta desde los objetos al suelo a lo largo del camino más corto posible.
He pasado por alto un componente importante: la dirección y (que sale de la página). Obviamente, también tenemos una simetría traslacional en esa dirección. ¿Cómo podemos saber la diferencia entre la dirección y y la dirección x?
En resumen, no podemos hasta que te diga que la bala se está moviendo en la dirección x . Elegí mis ejes para que la bala viajara a lo largo de uno de ellos, porque hace que el problema sea más fácil de enunciar. Podría haber elegido mis ejes con la misma facilidad, de modo que la bala estuviera viajando en un ángulo de 60 grados con respecto al eje xy un ángulo de 30 grados con respecto al eje y.
De hecho, ni siquiera tengo que seleccionar los dos ejes para estar en ángulos de 90 grados entre sí. Debido a que no hay nada en mi mundo que diferencie la rotación en el plano xy, las direcciones que llamo x e y son arbitrarias (siempre que no sean paralelas; el plano xy sigue siendo un espacio bidimensional). Cambiar nuestras direcciones “fundamentales” de esta manera se llama un cambio de base .
Pero, no importa de qué manera seleccione su base, la gravedad siempre va a tirar directamente hacia el suelo.
En resumen, tenemos dos traducciones distintas que nos interesan. Nos preocupa movernos dentro del plano xy (porque tenemos una simetría traslacional completa en ese plano) y nos preocupamos de movernos hacia arriba y hacia abajo a lo largo del eje z (porque es la dirección en la que el suelo rompe nuestra simetría).
Esto significa que, cuando la bala está volando, su movimiento en las direcciones x e y será completamente independiente de lo que sucede en la dirección z. No hay forma de que la bala “sepa” que se mueve en las direcciones x e y; bien puede ser detenido. Como tal, podemos tratar el movimiento de la bala en la dirección z como si la bala no se moviera hacia adelante. Luego, cuando combinamos este movimiento con la velocidad de avance que asumimos en la definición del problema, obtenemos la misma respuesta que asumimos suponiendo que las direcciones ortogonales son independientes.
Como nota final, me siento obligado a señalar que lo anterior no es en absoluto una trivialidad. Existen sistemas en los que la suposición básica de que las direcciones ortogonales son independientes falla miserablemente. Por ejemplo, al estudiar el movimiento de los electrones en un cristal, redefinimos nuestros vectores básicos a lo largo de los ejes de simetría, que con frecuencia no son ortogonales. Entonces podemos tratar el movimiento a lo largo de diferentes de estos “vectores de red” como independientes, de la misma manera que tratamos las direcciones ortogonales como independientes en el espacio libre.
