Cómo determinar el movimiento de una partícula dada su posición

De Verdad? ¿Nada? Se necesita un nivel moderado de competencia en cálculo diferencial para responder a estas preguntas, así como saber cómo se derivan la velocidad y la aceleración de una función de posición.

Los principios importantes aquí son que la velocidad es la tasa de cambio de posición con respecto al tiempo y que la aceleración es la tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo.

Para responder (a), ya se le asignó la función para el puesto en la pregunta. La ecuación de velocidad se da al diferenciar esa ecuación con respecto al tiempo, mientras que la aceleración se da al diferenciar la ecuación de velocidad con respecto al tiempo. Para obtener la posición inicial, sustituya t = 0 en cada ecuación.

[matemáticas] x (t) = 2- \ sin {(2t)} cm [/ matemáticas]

la función de velocidad v (t) es la primera derivada de x (t) con respecto al tiempo, por lo tanto, la función de velocidad v (t) es (tenga en cuenta que la diferenciación de sin (2t) con respecto a t es ligeramente no trivial. Si no puede hacerlo en el momento de la prueba, quedará perplejo.

[matemáticas] v (t) = – 2 \ cos {(2t)} cms ^ {- 1} [/ matemáticas]

La función de aceleración a (t) es solo la primera derivada de la función de velocidad con respecto al tiempo, por lo que

[matemáticas] a (t) = 4 \ sin {(2t)} cms ^ {- 2} [/ matemáticas]

Para la posición inicial, simplemente sustituya t = 0, entonces

[matemáticas] x (0) = 2 cm [/ matemáticas]
[matemáticas] v (0) = -2cms ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] a (0) = 0cms ^ {- 2} [/ matemáticas]

En lo que respecta a describir el movimiento en ese punto, es una posición de 2 cm a lo largo del eje xy se mueve a 2 cm por segundo a una velocidad constante (ya que la aceleración es cero). Más en general, como la posición de la partícula se describe mediante una función sin, seguirá una función de onda sinusoidal con su origen a 2 cm a lo largo del eje x y oscilará entre 1 y 3 cm con un período de [matemáticas] \ pi [/ math].

Para responder (b) simplemente sustituya [math] t = \ frac {\ pi} {2} [/ math] en las tres funciones, entonces

[matemáticas] x (\ frac {\ pi} {2}) = 2 cm [/ matemáticas]
[matemática] v (\ frac {\ pi} {2}) = 2cms ^ {- 1} [/ matemática]
[matemáticas] a (\ frac {\ pi} {2}) = 0cms ^ {- 2} [/ matemáticas]

Es decir, la partícula está en el punto inicial, pero viaja en la dirección opuesta a la misma velocidad.

Para responder (c), simplemente busque los momentos en que la función de velocidad es cero. Claro que es cuando cos (2t) = 0. Entonces, dentro de los límites dados, eso es [matemática] t = \ frac {\ pi} {4} [/ matemática] y nuevamente en [matemática] t = \ frac {3 \ pi } {4} [/ matemáticas]

Finalmente, para responder (d) debe buscar esos períodos después de que el componente de velocidad sea 0. Tenga en cuenta que hay un principio importante en que la velocidad es un vector, lo que significa que tiene magnitud y dirección. El signo de la velocidad importa. Sin embargo, la pregunta se refiere al aumento de la velocidad, no a la velocidad, por lo que la dirección no importa. En otras palabras, simplemente olvide el signo y observe los períodos entre cuando la velocidad (y, por lo tanto, la velocidad) es cero y cuando alcanza un máximo.

Entonces esto claramente sucede de

[matemáticas] \ frac {\ pi} {4}

y en

[matemáticas] \ frac {3 \ pi} {4}

Bueno, es fácil entrar en pánico cuando te dan un problema como este con muy poca ayuda adicional, pero míralo como una especie de definición de lo que son la velocidad y la aceleración:

Son derivados de la distancia.

La velocidad es la primera derivada de la distancia con respecto al tiempo.

La aceleración es la segunda derivada de la distancia (y la primera derivada de la velocidad por cierto)

En matemáticas, eso sería:

Si x (t) es alguna función de t, entonces

la velocidad [matemática] v (t) = \ frac {d} {dt} x (t) [/ matemática]

y aceleración [matemáticas] a (t) = \ frac {d_2 x} {dt ^ 2} = \ frac {dv} {dt} [/ math]

Entonces, si [matemáticas] x (t) = 2-2 \ sin (2t) [/ matemáticas]

entonces velocidad [matemática] v (t) = -2 \ cos (2t) [/ matemática]

y aceleración [matemáticas] a (t) [/ matemáticas] = 4 \ sin (2t)

La posición inicial es donde t = 0 por lo tanto [matemática] x (0) = 2 [/ matemática] ya que [matemática] \ sin (0) = 0 [/ matemática]

El movimiento es Simple Harmomic (¡gracias a Steve Jones por señalar esto!)

(un)

La función de posición se da en la pregunta. La función de velocidad es su derivada con respecto al tiempo:

[matemáticas] v (t) = x ‘(t) = -2 \ cos (2t) [/ matemáticas]

y la función de aceleración es igualmente la derivada de la función de velocidad con respecto al tiempo.

(si)

En ese momento, la posición es igual a

[matemáticas] x (\ frac {\ pi} {2}) = 2 – \ sin (2 \ cdot \ frac {\ pi} {2}) = 2 [/ matemáticas] cm. ¿Cuál es su velocidad? ¿Cuál es su aceleración?

(C)

Si una partícula está cambiando de dirección, eso significa que su función de velocidad es cero y su función de aceleración no. ¿Dónde es esto verdad? En otras palabras, para qué valores de [math] t [/ math] es esto cierto:

[matemáticas] v (t) = -2 \ cos (2t) = 0 [/ matemáticas]

(re)

La velocidad de la partícula aumenta si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo. ¿Cuándo son ambos positivos o ambos negativos?

El cálculo diferencial se puede utilizar para resolverlo, tomar la derivada con respecto a la posición y resolverlo.