Grandes fragmentos de física se reducen a la resolución de sistemas lineales sujetos a un conjunto particular de valores límite. Los ejemplos incluyen las ecuaciones de Laplace / Helmholtz en electrodinámica y la ecuación de Schrodinger en mecánica cuántica no relativista.
El truco para resolver estas ecuaciones es reconocer que (debido a la linealidad) la suma de dos soluciones es en sí misma una solución . Esto plantea una pregunta: ¿hay una familia de soluciones particularmente ‘agradables’ de las que podamos expresar una solución más general como la suma de?
Entonces, ¿qué queremos decir con “agradable”? Hablando en general, nos referimos a ortogonal, porque entonces podemos expresar soluciones en términos de una base ortogonal. Esto nos permite cumplir con las condiciones iniciales o límite tomando los ‘componentes’ de la condición.
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Esto nos lleva de vuelta a los vectores propios. Según el teorema espectral, los operadores lineales tienen vectores propios que son (en algunas condiciones) ortogonales. Por lo tanto, nos dan una base natural para expresar soluciones a ecuaciones lineales (generalmente diferenciales).
Eso nos dice por qué los vectores propios aparecen en física desde una perspectiva matemática, pero luego los interpretamos en un contexto físico. Por ejemplo, considere el caso de una cuerda vibrante (obedece a la ecuación de onda). Si se fija en ambos extremos (condiciones de contorno), entonces tiene un conjunto infinito discreto de vectores propios. Cada uno corresponde a un “modo de vibración” de la cuerda y oscila a una frecuencia particular. Podemos expresar (la mayoría) de cualquier función de amplitud como una suma de estos modos propios, y lo hacemos para determinar cómo evoluciona la amplitud de la cuerda a lo largo del tiempo desde una condición inicial dada. Calculamos el coeficiente de cada término de frecuencia (amplitud de cada frecuencia) para que coincida con la condición inicial, y luego el sistema evoluciona a medida que esta suma ponderada de términos de frecuencia.
En realidad, este es solo un ejemplo de dónde aparecen los vectores propios en física: hay muchos otros. Los vectores propios proporcionan una base “natural” para tratar con un operador lineal dado, por lo que seguramente serán importantes en cualquier situación en la que los operadores lineales estén presentes, literalmente en todas partes en matemáticas y ciencias.
