¿Por qué la aproximación de energía del estado fundamental encontrada usando el método variacional es definitivamente mayor que la energía real del estado fundamental?

Siempre puede escribir su función de onda de prueba normalizada [matemáticas] \ Psi [/ matemáticas] como una suma de las funciones propias de energía, es decir,

[matemáticas] \ Psi = a_0 \ phi_0 + a_1 \ phi_1 + a_2 \ phi_2 + \ ldots [/ math]

donde [math] \ phi_0 [/ math] es la función de onda de estado fundamental con energía propia [math] E_0 [/ math], [math] \ phi_1 [/ math] es la función propia del siguiente estado excitado más alto y así sucesivamente.

Por lo tanto, el valor de la expectativa energética es

[matemáticas] \ langle E \ rangle = | a_0 | ^ 2 E_0 + | a_1 | ^ 2 E_1 + | a_2 | ^ 2 E_2 + \ ldots [/ math]

con la restricción de que [math] | a_0 | ^ 2 + | a_1 | ^ 2 + \ ldots = 1 [/ math].

Por definición, solo puede obtener [math] \ langle E \ rangle = E_0 [/ math] si la función de onda de prueba es la función de onda del estado fundamental, es decir, [math] | a_0 | = 1 [/ matemáticas]. Cada vez que tenga un componente distinto de cero (por ejemplo, [math] a_1) [/ math] en un estado excitado más alto, la energía esperada es mayor que la energía del estado fundamental. Un método variacional es simplemente una técnica para encontrar la combinación de coeficientes que lo acerque lo más posible a [matemáticas] | a_0 | = 1 [/ matemáticas].