Mi asesor quiere que produzca una definición formal de un problema de investigación (es decir, convertir una descripción de un problema en inglés de alto nivel en una especificación matemática). ¿Cómo puedo saber si mi modelo del problema es apropiado?

A2A

Desearía poder darte una respuesta más general, pero solo puedo decirte lo que he hecho.

Durante varios años, mi investigación fue sobre computación fuera de núcleo. Fue inspirado por el modelo de disco paralelo, con el que me topé. Así que desarrollé e implementé algoritmos para el PDM. Los algoritmos en los que trabajé fueron bastante fáciles de especificar, ya que la mayoría de ellos tenían algo que ver con permutaciones que tenían una estructura particular.

Una de las cosas buenas de la investigación es que a veces resuelves un problema diferente al que pretendías resolver. Escribes la solución al problema que terminaste resolviendo, como si fuera lo que estabas haciendo todo el tiempo. ¡Nadie necesita ser más sabio!

Como mencionó el profesor Cormen, formular formalmente un determinado problema de investigación a menudo es difícil y sospecho que los consejos sobre cómo hacerlo pueden depender mucho del campo. A menudo encuentro que formular su problema demasiado pronto puede limitar demasiado el desarrollo intelectual de su trabajo, de ahí que muchas personas terminen definiendo la “pregunta” después de que ya ha sido respondida.

Lo que sospecho que su asesor quiere, en caso de que aún no haya resuelto su problema, es una señal clara de que sabe lo que está haciendo y cuáles deberían ser los próximos pasos. Hacerlo a menudo requiere que esté muy familiarizado con el campo en el que está trabajando. Esto es lo que hago para asegurarme de que yo y mi asesor estén siempre en la misma página con respecto a lo que estamos trabajando:

1. Piense en la investigación que está realizando como una historia que está tratando de contar.
2. Dibuje las figuras, diagramas, teoremas, tablas y otros elementos visuales de resumen importantes antes de escribir cualquier cosa. Esos deberían ser suficientes para que un lector muy experimentado confíe en su historia sin ningún texto adicional. Comunique y recopile comentarios de su asesor sobre este paso.
3. Defina informalmente su objetivo, hipótesis o problema de investigación.
4. Trabaje en la recopilación de datos para construir los elementos del paso 2. Hable nuevamente con su asesor.
5. Es probable que su objetivo cambie después o durante la recopilación de algunos datos, regrese al paso 2 e itere tanto como sea necesario, pero no mucho.
6. Comienza a escribir tu historia (es decir, papel, tesis). Tenga en cuenta que hay diferentes análisis que podrían haberse hecho para fortalecer su punto. Regrese al paso 2 si es necesario.
7. Termina de escribir tu historia, pero la introducción.
8. Defina formalmente el problema de investigación que acaba de resolver y escriba la introducción.

Tenga en cuenta que la definición formal real de su hipótesis o problema de investigación es el último paso. La investigación es altamente no lineal y, como investigador, es probable que tengas alguna idea sobre cómo debería ser una buena historia y en qué vale la pena trabajar, pero sería bastante sorprendente si pudieras definir formalmente de antemano el resultado final de un largo proceso de investigación.

Si su asesor quiere una prueba de que tiene una opinión sólida sobre lo que quiere / debe hacer, diríjase a ellos con (i) la historia esbozada, (ii) cómo intentará abordarla (metodología), (iii) resultados que espera obtener de él (elementos visuales) y (iv) qué problema resolverá (objetivo). Trabajar en los primeros tres ciertamente lo ayudará a establecer su objetivo con mayor claridad.

Este es el problema de la validación (en oposición a la verificación) y depende mucho del contexto.

1. Si es un problema muy específico relacionado con un tema científico (por ejemplo, física), pregúntele a un experto en el campo si su modelo tiene sentido. Deben tener una comprensión intuitiva de lo que un buen modelo en su materia debería poder capturar. Incluso si la persona tiene poco conocimiento de las matemáticas, debería poder hacerle algunas preguntas con respecto a su modelo que resalten defectos en el modelo si el modelo no puede manejar los detalles que un experto siempre requeriría.
2. ¿Su modelo es simple o complicado? Si es complicado, ¿el problema también es complicado o puede simplificar algunos detalles? Según mi experiencia, casi todo se puede especificar de manera muy elegante en matemáticas, a menos que se trate de problemas muy heterogéneos.
3. ¿Has tratado de describir al menos instancias de problemas básicos en tu formalismo? Si esto no es posible o muy tedioso, su enfoque probablemente sea deficiente.
4. ¿Ha comparado su enfoque con los enfoques existentes (si hay alguno)? Y si su enfoque difiere de los enfoques existentes, ¿puede explicar por qué es así? Si no, es posible que te falten detalles cruciales.
5. ¿Le has mostrado tu modelo a otro estudiante de doctorado u otra persona de tu grupo de investigación? Ese podría ser un buen comienzo para recibir comentarios.

Estas son solo algunas heurísticas que me vienen a la mente. Como dije, depende mucho del contexto y se requieren diferentes enfoques para diferentes problemas. Por ejemplo, si modela la bolsa de valores, el clima, el movimiento de objetos o cualquier otra cosa que pueda probarse empíricamente, debe verificar si su formalismo describe cualquier transformación razonable de entrada / salida, es decir, el formalismo tiene variables de salida para una entrada dada que claramente refleje lo que está tratando informalmente de lograr.
Por otro lado, si está trabajando con problemas como la verificación de software, esto no es posible ya que desea probar formalmente las propiedades. Luego necesitará una métrica diferente para analizar si su modelo es válido o no.

Supongo que esto es para investigación teórica.

Típicamente, ningún problema de investigación se define en el vacío. Eso significa que ha habido varias personas antes que usted que han trabajado en problemas “similares” (por lo menos hasta cierto punto) antes. Mientras lees la literatura, te haces una idea de cómo han definido sus problemas y esto te ayuda mucho.

Además, en la práctica, está elaborando algunas hipótesis iniciales (una corazonada, básicamente) al construir ejemplos que pretenden refutarlo (para el teórico, estos son los experimentos que pueden falsificar su afirmación) y refinar repetidamente su hipótesis basándose en Sus éxitos y fracasos con varios ejemplos. En última instancia, la única hipótesis (que es una declaración matemática formal) que funciona (es decir, tiene una prueba general, no solo ejemplos que la satisfacen) se convierte en lo que usted informa. Entonces, como alguien más también ha dicho, lo que finalmente terminas haciendo es básicamente una versión formal pulida de una idea aproximada.

La investigación es divertida, usted trabaja con declaraciones que son “flojas” en algún sentido, sin embargo, la presentación de informes debe ser formal, ya que debe cumplir con los estándares científicos.

Esto lleva un tiempo una vez que haya finalizado la lista de variables en su investigación. Es necesario definir la relación adecuada entre ellos para que el problema de los investigadores parezca lógico.

Podrías consultar una gran cantidad de investigaciones anteriores sobre temas similares para comprender cómo definieron sus ecuaciones.

Me llevó un tiempo encontrar un modelo matemático lógico y mi guía lo modificó varias veces y luego se finalizó.

Esta es la parte difícil de la investigación. Esfuércese honestamente, pero esté preparado para que su asesor le señale fácilmente las cosas que se perdió. Con el tiempo y la práctica mejorará, pero nunca llegará al punto en que siempre lo haga bien.