La aceleración de caída libre debido a la gravedad de la Tierra es solo la fuerza gravitacional dividida por la masa del objeto que cae. Entonces, mientras estés hablando de un punto fuera de la Tierra , tenemos
[matemáticas] g (r) = \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]
donde [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional de Newton (que es universal), [matemática] M [/ matemática] es la masa de la Tierra y [matemática] r [/ matemática] es la distancia desde el centro de la tierra.
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Parece que estás en un contexto en el que tiene sentido escribir cosas como [matemáticas] r = R + h [/ matemáticas], donde [matemáticas] R [/ matemáticas] es el radio de la Tierra y [matemáticas] h [ / math] es la altitud sobre la superficie de la Tierra. Entonces, siempre y cuando [math] h> 0 [/ math] , podamos escribir
[matemáticas] \ begin {align *} g (h) & = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \\ & = \ frac {GM} {R ^ 2} \ frac {R ^ 2} {(R + h) ^ 2} \\ & = g_0 (1 + h / R) ^ {- 2} \ end {align *} [/ math]
donde [matemática] g_0 \ equiv GM / R ^ 2 \ aprox 9.8 \ text {m / s} ^ 2 [/ matemática].
Ahora, la mayoría de las veces le interesarán los casos en que [matemáticas] h [/ matemáticas] es relativamente pequeño (o, al menos, mucho más pequeño que [matemáticas] R [/ matemáticas]). En tal caso, podemos simplificar nuestros cálculos haciendo una expansión de Taylor:
[matemáticas] (1 + x) ^ n = 1 + nx + \ tfrac {1} {2} n (n-1) x ^ 2 + \ puntos [/ matemáticas]
donde “[math] \ dots [/ math]” indica términos que tienen más factores de [math] x [/ math] en ellos. Por lo tanto, si [math] x [/ math] es muy pequeño , lo que significa que los poderes más altos de [math] x [/ math] son aún más pequeños, podemos ignorar todo más allá del término lineal (es decir, estamos haciendo el estándar Aproximación binomial):
[matemáticas] (1 + x) ^ n \ aprox 1 + nx [/ matemáticas]
o, en este caso,
[matemáticas] g_0 (1 + h / R) ^ {- 2} \ aprox g_0 (1 – 2h / R). [/ matemáticas]
Sin embargo, tenga en cuenta que esta aproximación solo es buena cuando [math] x \ equiv h / R [/ math] es muy pequeña. Por lo tanto, ¡no debería sorprender que obtenga la respuesta incorrecta cuando conecte [math] h = R \ rightarrow x = 1 [/ math]!
(Compruébelo usted mismo: la aproximación funciona bastante bien cuando [matemática] h [/ matemática] es una pequeña fracción de [matemática] R [/ matemática], pero bastante pobre cuando eso deja de ser cierto).
