¿Por qué la energía de una partícula [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática]?

Intuitivamente

Nada en lo que pueda pensar excepto por el análisis dimensional. Espero que al menos esté convencido con las unidades de todas las cantidades físicas utilizadas en las fórmulas de energía cinética. Ahora la energía (E) tiene la unidad Joule (J), es decir, básicamente el medidor de Newton ( N m). Entonces, si tratamos de representar la energía E en [[matemática] [M ^ a L ^ b T ^ c A ^ d] [/ matemática] forma donde M representa masa, L representa longitud, T representa para el tiempo y A representa amperios y a, b, c, d son sus respectivos poderes que ayudan a representar cualquier cantidad física, entonces [matemática] [E] = [M ^ 1 L ^ 2 T ^ -2] [/ matemática]

Ahora haciendo lo mismo para lo que tenemos en el lado derecho de las fórmulas (tomemos como [math] 1/2 mv ^ k [/ math] e intentemos encontrar el valor de ‘k’ y verifiquemos si puede tener más de una solución o cualquier otra solución que no sea 2) …

Entonces

[matemáticas] [1/2 mv ^ k] = [M ^ 1 (LT ^ -1) ^ k] = [M ^ 1 L ^ k T ^ -k] [/ matemáticas]

tenga en cuenta que 1/2 es un término constante y no tiene dimensiones.

Ahora, como hemos elegido [matemática] E = 1/2 mv ^ k [/ matemática], no veo ningún daño en afirmar que sus dimensiones sean iguales también.

En breve,

[matemáticas] [M ^ 1 L ^ 2 T ^ -2] = [M ^ 1 L ^ k T ^ -k] [/ matemáticas]

Ahora, ¿no es lo suficientemente intuitivo que las cantidades físicas fundamentales Masa, Longitud y Tiempo (MLT) deberían tener sus respectivos poderes iguales en ambos lados de la ecuación?

Sí, es …

Por lo tanto, k = 2 y como no veo 0.5 o 3 o 5, entonces 2 es la única opción que tenemos …

Espero que esta respuesta ayude !!

La energía cinética en realidad depende de cada potencia uniforme de [math] v [/ math], es solo que para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, las contribuciones de los poderes superiores de [math] v [/ math] pueden ignorarse. Entonces, realmente la pregunta es por qué los poderes extraños de [math] v [/ math] están excluidos.

Hay un par de formas de argumentar esto, pero la mejor manera en mi opinión es considerar una energía cinética que depende de un poder extraño de [matemáticas] v [/ matemáticas]

[matemáticas] T = \ alpha v ^ {2n-1} [/ matemáticas],

que para ser definitivos tomaremos [math] \ alpha> 0 [/ math] (lo siguiente todavía funciona para [math] \ alpha <0 [/ math], solo necesita cambiar algunas desigualdades).

Tor [math] v \ rightarrow – \ infty [/ math], [math] T \ rightarrow – \ infty [/ math]. La energía cinética no tiene límites desde abajo, lo que significa que la energía total no tiene límites desde abajo.

La falta de una energía mínima es un problema importante, ya que eso significa que un sistema puede continuar emitiendo energía (en este caso moviéndose en la dirección [matemática] -x [/ matemática]), lo que significa que no hay un sistema estable y fundamental. estado. Puedes ver por qué esto sería un problema intuitivamente, pero el problema se vuelve realmente serio en la teoría cuántica de campos.

La derivación rigurosa [1] de la inestabilidad se debe a Ostrogradsky, quien la deriva en la teoría de campo clásica (mecánica lagrangiana). Se revisa en este documento: [1506.02210] El teorema de Ostrogradsky. Las teorías que generan términos cinéticos con extraños poderes de velocidad (realmente, impulso) se deben a los lagrangianos que dependen de derivadas de orden superior de las coordenadas; la inestabilidad resultante se cita comúnmente como un teorema de no ir en el trabajo teórico que intenta extender el estándar. modelo de física de partículas.

[1] Sí, hay toneladas de agujeros en lo anterior. Es para desarrollar la intuición: si quieres una prueba rigurosa, lee el periódico.

Consideremos lo que sucede cuando traducimos la energía potencial gravitacional en energía cinética. Comience con la ecuación familiar para la energía potencial de un objeto en un campo gravitatorio uniforme:

[matemáticas] PE = mgh [/ matemáticas]

Puede aceptar esto como la definición de energía o derivarla de [math] \ text {Work} = \ text {Force} \ times \ text {Distance} [/ math], entonces [math] E = (mg) \ veces h [/ matemáticas].

Suponga que la partícula está en reposo y permita que caiga bajo la gravedad desde la altura [matemática] h [/ matemática] hasta la altura [matemática] 0 [/ matemática]. Use la ecuación ‘suvat’: [matemática] v ^ 2 = u ^ 2 + 2as [/ matemática]. Entonces tenemos [matemática] u = 0 [/ matemática], [matemática] a = g [/ matemática] y [matemática] s = h [/ matemática].

[matemáticas] v ^ 2 = 2gh = \ frac 2m (mgh) = \ frac 2m (PE) [/ matemáticas]

[matemáticas] PE = \ frac 12 mv ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, la velocidad final debe ser tal que [matemática] \ frac 12 mv ^ 2 [/ matemática] sea igual a la energía potencial ‘perdida’. Si etiquetamos esta cantidad como “energía cinética”, entonces podemos decir que la energía total se conserva.

Puede preguntar de dónde proviene [math] v ^ 2 = u ^ 2 + 2as [/ math]. Proviene de la definición de velocidad promedio que es la distancia en el tiempo ([matemática] \ frac {u + v} 2 = \ frac st [/ matemática]) y la definición de aceleración ([matemática] a = \ frac {vu} t [/matemáticas]). Eliminar [matemáticas] t [/ matemáticas] de estas dos ecuaciones da el resultado.

En general, el trabajo realizado se equiparará a la energía de un objeto.

• Trabajo realizado [matemáticas] W = \ int [/ matemáticas] [matemáticas] F \, dx [/ matemáticas]. . . . . (1)

• F – Fuerza experimentada por el objeto.
• dx – desplazamiento.

• (Tasa de cambio de impulso)

En caso de que un objeto se acelere, el trabajo realizado en el sistema ayudará a ganar energía. Y, a la inversa, pierde energía mientras se desacelera.

• Este aumento o disminución de la energía de un sistema en movimiento debido al trabajo externo realizado en el sistema se denomina energía cinética.
• Este trabajo [matemático] W [/ matemático] evaluado para un desplazamiento [matemático] dx [/ matemático] del sistema será el cambio en la energía cinética de ese sistema.

• Esto muestra [matemáticas] W = KE [/ matemáticas]. . . . . (3)

Usando las ecuaciones (1) (2) y (3)

• [math] KE = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 m \ dfrac {dv} {dt} \, dx [/ math] contado entre la posición inicial y la final.
• [matemáticas] KE = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 m \ dfrac {dx} {dt} \, dv [/ math]

• ([math] \ dfrac {dx} {dt} = v [/ math] es la velocidad en ese momento).

En general, la energía cinética de un objeto en cualquier instante puede evaluarse sustituyendo la velocidad en ese instante.

Como todos dicen, todas las unidades deben coincidir (para eso parece ser el análisis dimensional).

Pero hay casos como la gravedad donde necesitamos constantes extrañas (G) que realmente perturban todo lo intuitivo sobre las dimensiones (unidades).

Entonces, ¿cómo sabemos que la energía de una partícula es 1/2 Mv ^ 2?

¿Y no algo así como KMv ^ 3 donde K es un valor dimensional de 1 / 2v ^ (- 1) y no el valor adimensional que realmente es- 1/2? ¿Por qué 1/2 y no 1/3?

El problema con fórmulas como esta es que se derivan matemáticamente.

• Primero, debes entender lo que describe la energía cinética.

La energía cinética es la energía que posee la partícula debido a su movimiento.

Esto significa que si hacemos que deje de tener ese movimiento, podemos obtener esa energía.

¿Qué formas sabemos para hacer que algo deje de tener movimiento?

• fenomenos cuánticos (en la forma en que E = mc² y las partículas inmóviles de repente van a la velocidad de la luz, como en la aniquilación en pareja)
• aceleraciones electromagnéticas y gravitacionales

Nuestro 1/2 Mv ^ 2 se usa para este último punto; La energía que podemos obtener de ∆v (variación de velocidad).

Eso significa que necesitamos utilizar la expresión de aceleración en la energía ya que la aceleración describe la variación de la velocidad.

Ahora, debemos recordar E = F∆x donde E es energía, F es fuerza, ∆x es distancia.

Esa es la definición de energía para el movimiento rectilíneo uniforme acelerado.

También sabemos que F viene con una aceleración ya que F = ma.

Ahora, nuestro sistema se ve así:

Una partícula aumenta / disminuye la velocidad (∆v o v) en una distancia de ∆x, en un tiempo ∆t o t.

Como nos han enseñado desde la escuela secundaria y el núcleo de esta ecuación es,

• ∆x = 1/2 at²

donde la velocidad inicial es 0, de modo que esto solo representa la distancia que obtenemos de la variación de velocidad solamente.

Y,

• v = en

debido a la definición de aceleración.

Solo los fusionamos y obtenemos

E = F∆x

E = ma∆x

E = (mv / t) (1/2 at²)

E = 1/2 mvat

Ahora, mira de nuevo v = at

E = 1 / 2mv²

Entonces veo muy normal, pero ¿qué pasa con la intuición?

El principal problema con la intuición aquí creo que es

• ∆x = 1/2 at²

Dado que todos nuestros problemas provienen principalmente de esa fórmula, deberíamos encontrar la intuición en ella en lugar de en la fórmula de energía cinética.

¿Ves cómo aumenta la velocidad con el tiempo en una aceleración?

Si calculamos la distancia, tenemos esa área triangular.

Si no tuviéramos el factor de 1/2 tendríamos un rectángulo y no un triángulo que representa un aumento en la velocidad.

Recuerde, también, que porque ∆x = 1/2 at², ∆x = 1/2 vt donde v puede medirse como la velocidad actual en el tiempo. A partir de ahí obtenemos el gráfico que dibujo y la distancia es la mitad de la velocidad multiplicada por el tiempo.

Bueno, para empezar, la autoridad real es Einstein, quien nos informa que:

E = gamma mc ^ 2 = (1 – (v / c) ^ 2) ^ (- 1/2) mc ^ 2

Sucede que para velocidades pequeñas comparables a la de la luz, es decir

v << c

entonces la ecuación de Einstein es aproximadamente igual a:

E = (1 + 1/2 (v / c) ^ 2) mc2 = mc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2

Entonces, la energía total de una partícula es igual a su equivalente en masa de energía en reposo (mc ^ 2) más su energía cinética de movimiento (aprox. 1/2 mv ^ 2 cuando v << c).

Ahora puede preguntar: “¿por qué la energía total es igual a gamma mc ^ 2?”

Y alguien más responde eso 🙂

Descartes (c.1640) demostró que la cantidad de “mv” (masa por velocidad), también conocido como momento, de dos cuerpos esféricos inelásticos se conserva durante las colisiones. Gravesande (1717), a través de experimentos de impacto de superficie de bola y arcilla, mostró que la energía de un cuerpo en movimiento es “mv²”.

Lagrange (1811) demostró, a través del cálculo, que un medio factor ½ está involucrado en la relación entre la energía potencial y cinética. Por lo tanto, la energía de movimiento de un cuerpo (o partícula) es ½ mv².

“Mejor razonamiento” sugiere una respuesta simple. El 1/2 está ahí porque estamos promediando la velocidad inicial y la velocidad final de un movimiento. El cuadrado está allí porque un poco de análisis muestra que hay dos vectores de velocidad.

La energía de una partícula es igual al trabajo realizado en ella, ¿verdad? El trabajo es igual a la fuerza aplicada x la distancia del movimiento. Eso nos deja con W = F x d. F es la segunda ley, entonces F = ma y a es V final – V inicial / intervalo de tiempo. La distancia es la velocidad / tiempo promedio. La velocidad promedio es V inicial + V final / 2. Póngalo todo junto.

Obviamente, esta es solo una forma simple de pensarlo, pero a menudo ayuda a construir sobre una explicación simple.