Cómo crear la teoría electromagnética desde cero

En realidad, es bastante fácil construir la teoría electromagnética desde cero dada nuestra retrospectiva y conceptos del siglo XXI, sin tomar todos los desvíos y callejones sin salida por los que la ciencia progresó históricamente.

Aquí hay un boceto. (Si los conceptos individuales no son familiares, puede buscarlos, por ejemplo, en Wikipedia).

Comenzamos postulando la existencia de un campo de 4 vectores [matemática] A [/ matemática]. Es decir, postulamos que existe una cosa en todo el espacio y el tiempo, que se describe con precisión por el concepto matemático que llamamos un vector 4.

Además, postulamos que este vector 4 es suave, o al menos, que se puede diferenciar al menos tres veces.

Luego construimos la derivada exterior de [math] A [/ math]: [math] F = \ mathrm {d} A [/ math]. Esta [matemática] F [/ matemática] es un tensor antisimétrico que reconocemos como el llamado tensor de campo electromagnético. Los seis componentes de este tensor corresponden a dos campos vectoriales tridimensionales, [math] {\ mathbf {E}} [/ math] y [math] {\ mathbf {B}} [/ math], que reconocemos como el campos electricos y magneticos.

El operador derivado exterior tiene una propiedad: es nilpotente. Significa que cuando lo aplica dos veces, el resultado es idénticamente cero. Es decir, [matemáticas] {\ rm d} F = {\ rm d} ^ 2A = 0 [/ matemáticas] de forma idéntica. Cuando explicamos estas ecuaciones en términos de componentes, las reconocemos como dos de las ecuaciones de Maxwell: la ley de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo. Estas dos leyes son simplemente identidades matemáticas que se aplican a [matemáticas] A [/ matemáticas].

Ahora aplicamos lo que se conoce como el llamado Hodge dual [math] \ star [/ math], y definimos un nuevo campo de 4 vectores: [math] J = \ star {\ rm d} {\ star {F} }[/matemáticas]. El operador [math] \ star {\ rm d} \ star [/ math] a veces se denomina codifferential. Cuando lo resolvemos, reconocemos [matemática] J [/ matemática] como la 4-corriente: la combinación de densidad de carga y corriente en un 4-vector. También reconocemos esta definición de [matemáticas] J [/ matemáticas] como las dos ecuaciones de Maxwell restantes: la ley de Ampère y la ley de Gauss. Nuevamente, estas dos leyes son identidades que se derivan de la definición de la 4-corriente.

El Hodge dual es su propio inverso. Por lo tanto, [math] {\ star {\ rm d}} ​​{\ star J} = {\ star {\ rm d}} ​​^ 2 {\ star {F}} = 0 [/ math]. Reconocemos esto como la ley de conservación actual, otra identidad que se deriva de la definición de la 4-corriente.

Eso es. Toda la teoría de Maxwell se deriva como identidades matemáticas que se aplican a cualquier campo de 4 vectores que es al menos tres veces diferenciable, o se derivan de la definición de una corriente conservada.

De hecho, lo único que no es una identidad de [matemáticas] A [/ matemáticas] aquí es la definición de [matemáticas] J [/ matemáticas]. Una definición diferente puede conducir a una teoría diferente. Por ejemplo, [matemáticas] J- \ mu ^ 2A = {\ estrella {\ rm d}} ​​{\ estrella F}. [/ Matemáticas] conduce a la teoría de Proca del electromagnetismo masivo.

La historia del progreso de la teoría del electromagnetismo es, de hecho, la historia de la ciencia moderna, incluidas las matemáticas. Los campos de la mecánica de fluidos, el calor, el sonido, la mecánica de sólidos y el electromagnetismo y otros, han caminado de la mano, se han derramado unos sobre otros, se han afectado y se han beneficiado enormemente, y todo el tiempo. La base de todo era, por supuesto, las matemáticas. Es por eso que ves muchos nombres geniales como Newton, Laplace, Poisson, Lagrange, Euler y el resto de la pandilla mencionados en casi todos estos campos. También los términos de ondas, vórtices, cuadrado inverso, tensión / deformación, campos, gradientes y el resto, también aparecen en casi todos estos campos. Estuvieron tomados de la mano todo el camino, hasta que alcanzaron su estado actual, magnífico y muy avanzado. La mecánica de fluidos, siendo la ciencia de algo visible y tocable, fue líder en esto la mayoría de las veces, al menos al principio.

Pero por qué debería ser así. Es porque todos describen varios aspectos de la mecánica más simple … el movimiento de partículas en el espacio y sus interacciones. Comienza con el movimiento de partículas elementales y termina con la colección de partículas del tamaño de Avogadro, como una gota de agua, por ejemplo. Y debido a que las fuerzas involucradas tenían la misma estructura, su descripción matemática también se vuelve similar, ya sea que describimos solo unos pocos o billones de partículas que interactúan.

La apariencia fractal del mundo es un resultado directo de la similitud en las fuerzas que conducen todo. Recientemente he aprendido que relaciones como f = r ^ n poseen un comportamiento natural de simetría / fractal. Esta relación en particular, abarca la ley del cuadrado inverso junto con su caso limitante en confinamiento (ley de Hook) que conduce a vibraciones y ondas. Pocas partículas, por ejemplo, pueden crear un sistema vibratorio y este sistema se mueve como una sola partícula y luego se convierte en parte de un sistema vibratorio más grande y así sucesivamente, como resultado encontramos que lo muy pequeño se asemeja a lo muy grande en el comportamiento.

Los primeros pasos en todas esas ciencias fueron experimentales, luego se derivaron leyes empíricas de los datos. Así es como se escribieron el cuadrado inverso de la gravedad y la electricidad, la ley de Hook, la ley de Ohm, la ley de Ampere, la ley de Faraday y otras. Pero ahora todas estas leyes se pueden derivar utilizando solo los primeros principios, con la experimentación necesaria solo para arreglar las constantes involucradas. Estas constantes pueden verse como factores de calibración, necesarios solo para armonizar las diversas unidades arbitrarias de medida.

La ley básica en el corazón de todo, es la conservación del impulso, o en efecto, conservar la simetría del espacio y lo que hay en él. El electromagnetismo no es diferente, y ahora existen muchas (aparentemente) diferentes formas de derivarlo … se puede decir con confianza que cualquier conjunto de leyes y ecuaciones que respeten la conservación del momento para una partícula como el electrón y tenga en cuenta todas sus propiedades , puede ser una teoría del electromagnetismo. La mecánica cuántica puede hacerlo, el cuadrado inverso y el potencial retardado pueden hacerlo, un comienzo de una ecuación de onda general puede hacerlo, e incluso una relación simbólica más simple como la que doy aquí EM Simplest .pdf (tenga en cuenta que hay un error tipográfico .. F = q E , no F = E / q) puede hacerlo. La derivación en la respuesta de Viktor es un buen ejemplo de una breve derivación de los primeros principios.

Por lo tanto, la derivación del electromagnetismo no puede hacerse desde cero como tal, pero ciertamente puede derivarse de principios simples cotidianos / genéricos.

La base empírica de la teoría electromagnética del siglo XIX es la ley de fuerza de Ampère (que no debe confundirse con la ecuación de Maxwell llamada ley (circuital) de “Ampère”), que dedujo de cuatro experimentos nulos en la década de 1820. Da la fuerza que los elementos actuales [matemática] I_1 d \ vec {\ ell} _1 [/ matemática] y [matemática] I_2 d \ vec {\ ell} _2 [/ matemática] ejercen entre sí:

[matemáticas] d ^ 2 \ vec {F_ {21} ^ A} = – \ frac {\ mu _0} {4 \ pi} I_1 I_2 \ frac {\ hat {r} _ {12}} {r_ {12} ^ 2} \ left [2 (d \ vec {\ ell} _1 \ cdot d \ vec {\ ell} _2) – 3 ({\ hat {r} _ {12} \ cdot d \ vec {\ ell} _1 }) ({\ hat {r} _ {12} \ cdot d \ vec {\ ell} _2}) \ right] = – d ^ 2 \ vec {F_ {12} ^ A}. [/ math]

Maxwell escribió en su Tratado de electricidad y magnetismo de 1873 §528 :

La investigación experimental por la cual Ampère estableció las leyes de la acción mecánica entre corrientes eléctricas es uno de los logros más brillantes de la ciencia. El conjunto, teoría y experimento, parece como si hubiera saltado, completamente desarrollado y completamente armado, del cerebro del ‘Newton de la electricidad’. Es perfecto en su forma e inexpugnable en precisión, y se resume en una fórmula a partir de la cual se pueden deducir todos los fenómenos, y que siempre debe seguir siendo la fórmula cardinal de la electrodinámica .

De la ley de fuerza de Ampère, se puede derivar la ley de inducción de Faraday; cf. La electrodinámica de Weber .

Desde cero, usas Ciencia y haces observaciones sobre la Naturaleza.

Durante mucho tiempo, terminarás con electromagnetismo.

Para los fundamentos teóricos y empíricos, busque “filosofía de la ciencia”.

La mayoría de las clases de ciencias para jóvenes le informarán sobre los hechos históricamente importantes de la naturaleza que una teoría de la electrodinámica debe tener en cuenta. Los cursos más avanzados le mostrarán los experimentos más cuidadosos que se realizaron para revelar detalles de ese fenómeno.

Pero comienzas con piedras de carga, electricidad estática e imanes, y tratas de entender cómo funcionan.

¿Se pregunta cómo se puede aprender la teoría electromagnética de los primeros principios? No se ha hecho hasta la fecha. El más cercano es a través del vector Cuatro de la relatividad que relaciona los campos magnéticos con los campos electrostáticos. Para comprender esto es necesario comprender todos los términos. Estos están disponibles en toda la web y wikipedia. Pero el resultado es que no se ha hecho en un sentido cercano. Para ilustrar una peculiaridad que da una idea del camino a seguir, vea mi publicación sobre la respuesta de Jack Bidnik a ¿Qué hace que un electrón y un protón se opongan a las cargas eléctricas? Pero solo si eso es lo que estabas preguntando.

Comience con los siguientes 3 experimentos y derive el conjunto de electromagnetismo paso a paso, introduciendo nuevos conceptos, ecuaciones y nuevos experimentos.

1. Frota dos globos inflados con un paño de lana y mantén los globos juntos de cerca. Intentarán separarse.
2. Frota dos trozos de nylon en una hoja de papel y luego mantenlos juntos. Nuevamente, intentarán separarse.
3. Ahora sostenga un globo y una pieza de nylon juntos de cerca. Esta vez, el nylon se aferra al globo.

Ni siquiera lo intentaría. A miles de personas les llevó siglos incluso comenzar; sin conocer primero sus esfuerzos sería imposible.

El secretario Maxwell construyó su teoría sobre los fundamentos empíricos y teóricos de Faraday, principalmente.

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