El principio de D’Alembet a veces se considera como una forma alternativa (más general) de la segunda ley del movimiento de Newton.
Un sistema de partículas dado está en equilibrio si la fuerza resultante que actúa sobre cada partícula es cero:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {F} _k = 0 [/ matemáticas]
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También se deduce que el trabajo virtual es igual a cero:
[math] \ displaystyle \ mathbf {F} _k \ cdot \ delta \ mathbf {r} _k = 0 [/ math]
donde [math] \ delta \ mathbf {r} _k [/ math] es el desplazamiento virtual de la partícula k-ésima.
Agregando las fuerzas resultantes y los trabajos virtuales tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ n \ mathbf {F} _k \ cdot \ delta \ mathbf {r} _k = 0 [/ math]
En el caso de la presencia de restricciones,
[math] \ displaystyle \ mathbf {F} _k = \ mathbf {F} _k ^ {(a)} + \ mathbf {F} _k ^ {(c)} [/ math]
Las dos fuerzas anteriores representan respectivamente la fuerza real y la fuerza de restricción sobre la k-ésima partícula.
Para cuerpos rígidos y para el movimiento en curvas y superficies sin fricción, se puede suponer que el trabajo virtual de las fuerzas de restricción es nulo. Así tenemos el principio del trabajo virtual:
Un sistema de partículas está en equilibrio si el trabajo total de las fuerzas reales es cero,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ n \ mathbf {F} _k ^ {(a)} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _k = 0 [/ math]
El principio del trabajo virtual se aplica a la estática de las partículas, pero puede reformularse para la dinámica.
Tenemos de la segunda ley del movimiento de Newton:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {F} _k = {\ dot {\ mathbf {p} _ {k}}} = m_ {k} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {k} = m_ { i} \ mathbf {a} _ {k} [/ math]
donde hemos utilizado el hecho de que el momento de la k-ésima partícula es el producto de su masa y velocidad [math] \ mathbf {v} _k [/ math], [math] \ mathbf {a} _k [/ math] siendo la aceleración correspondiente.
De manera equivalente podemos escribir:
[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {F} _k – {\ dot {\ mathbf {p} _ {k}}} = \ mathbf {0} [/ math]
La última ecuación anterior significa que un sistema de partículas en movimiento está en equilibrio bajo la fuerza real junto con la fuerza añadida (la derivada del momento del momento). Utilizando el principio del trabajo virtual, el principio de D’Alembert se puede expresar como:
Para un sistema de partículas en movimiento,
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ sum _ {k = 1} ^ n (\ mathbf {F} _k ^ {(a)} – {\ dot {\ mathbf {p} _ {k}}}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _k = 0} [/ math]
Consulte también los siguientes enlaces relevantes y útiles:
Principio de D’Alembert – Wikipedia
principio de d’Alembert | física
