¿Cómo se conserva la energía en esta pregunta?

Para el sistema dado:

Conservación de energía:

Como la colisión es elástica, la energía cinética del sistema, antes y después de la colisión, seguirá siendo la misma.
Entonces,

K (total, inicial) = K (total, final)

¿Por qué? Porque durante el curso de la colisión, las superficies de contacto se deformarán, por lo que parte de la energía cinética se convertirá en energía potencial (atribuida a la deformación). Sin embargo, como se trata de una colisión elástica, ambos cuerpos recuperarán su forma real en una condición ideal (aunque en realidad, no lo harán, pero la forma final cambiará mucho menos).

Momentum Conservation :

Como la fuerza neta en el sistema es cero, ¡el momento lineal tiene que ser el mismo antes y después de la colisión! (¡Da las gracias a la ley de Newton por decir esto!) 😀
Entonces cuando tengas razón,

p (inicial) = p (final)

Encontrará que las velocidades de su centro se intercambian entre las masas.

El par neto también será cero con respecto a cualquier eje, por lo que el momento angular permanecerá sin cambios. Como la esfera anterior tenía algo de momento angular, el eje pasaba por su centro de masa y perpendicular a la pantalla (del dispositivo que está usando), y el par sobre ese eje es cero (debido a las fuerzas impulsivas que actúan durante la colisión en la esfera), continuará girando como antes.
Se puede usar un argumento similar para la esfera estacionaria. Tenga en cuenta que si la segunda esfera ganara un poco de impulso angular en el escenario dado, la ley de conservación del momento se violaría, lo que nunca será posible.

Espero que aclare tus dudas.
El resto está escrito en la solución misma que has publicado.