¿El centro de masa para una densidad uniforme de forma bidimensional de densidad uniforme siempre divide el área por la mitad?

No, no lo haría porque otro problema que debe tener en cuenta es el par.

Considere la siguiente forma (¡no dibujada a escala!):

Muestra una forma 2D formada por dos cuadrados conectados por una longitud larga y delgada de 100 m que es tan delgada que su masa es insignificante. Sin embargo, de hecho es un solo objeto 2D.

Ahora tome cada cuadrado por separado y, para su comodidad, asuma una densidad uniforme de 1. Esto significa que el cuadrado de la izquierda tiene una masa de 25 kg y el cuadrado de la derecha tiene una masa de 1 kg.

El centro de masa de cualquier objeto es una distancia desde un punto arbitrario que se encuentra tomando la suma de todos los pares sobre ese punto (elegido arbitrariamente en la parte inferior izquierda en este caso) y luego dividiendo por la masa total. Por lo general, debe resolverse en las direcciones X e Y, pero para facilitarnos, tomemos la dirección X y veamos qué sucede.

Aquí tenemos, [matemáticas] X_ {centro de masa} = \ frac {2.5 * 25 + 99.5 * 1} {25 + 1} = 6.2m [/ matemáticas]

Esto coloca el centro de masa en un punto a 6.2 m del pivote.

Si dibuja una línea divisoria a través de este punto, terminará con un área de [matemáticas] 25cm ^ 2 [/ matemáticas] en un lado, y [matemáticas] 1 cm ^ 2 [/ matemáticas] en el otro.

Por lo tanto, una línea divisoria hacia abajo a través del centro de masa de un objeto de densidad uniforme no siempre lo divide en dos áreas iguales.

Debe corregirse: cualquier línea que pase por el centro de masa de forma irregular de densidad uniforme siempre la divide en dos partes con áreas iguales .

He probado esta idea, y parece que está mal.

Para realizar la prueba usted mismo, haga lo siguiente:

Instalar la evaluación de Rhino. (Este es un poderoso modelador 3d)

Haz alguna forma cerrada arbitraria. Haga una superficie plana, base sobre ella usando Suface – Curvas planas,

Ahora haz un AreaCentroid.

Tome una línea que pase este punto de AreaCentroid. Extiéndelo.

De lo que debe dividir el contorno en 2 partes. Ensamble 2 piezas y haga superficies planas.

Encuentra área para ambas partes. En mi experimento no son iguales.

Entonces, después de tales experimentos, podría demostrar si esta sugerencia es correcta o incorrecta. Parece que está mal.

¿El centro de masa para una densidad uniforme de forma bidimensional de densidad uniforme siempre divide el área por la mitad?

Depende completamente de la simetría del cuerpo laminar. Para una forma laminar irregular, sería poco probable que una línea vertical a través del centro de masa la dividiera en dos partes de igual área.

El centro de masa es el mismo que el centroide de un objeto laminar de densidad uniforme. Si se elige un triángulo no simétrico como forma, cualquiera de las tres medianas a través de su centroide divide su área por la mitad y parece funcionar un teorema de áreas iguales . Sin embargo, esto no se cumple para todas las líneas a través del centroide.

Por ejemplo, si una línea a través del centroide es paralela a un lado del triángulo, cortándolo en un triángulo pequeño y un trapezoide, el área del triángulo pequeño es 4/9 del área del triángulo original.

El centro de masa de una forma 2D es un solo punto. Es ese único punto donde la forma se equilibraría en la punta del dedo.

Un solo punto no divide un área de ninguna manera.

Podríamos (probablemente) probar que ALGUNA línea dibujada a través del Centro de Masa dividirá la forma en dos áreas iguales.

Como ejemplo, consideremos que la forma es un triángulo isósceles. Por simetría, el Centro de Masa se ubicará a lo largo de la línea de ‘altitud’ que se cruza con el ángulo desigual del triángulo. (Creo que se llama el vértice del triángulo). Nuevamente, la simetría nos muestra que la línea que pasa a través del centro de masa y el vértice dividirá la forma en dos áreas iguales.

¿Otras líneas a través del Centro de Masa también darán como resultado dos áreas iguales? Lo dejo como ejercicio para que lo intente. (Intente una línea a través del centro de masa y paralela a la base para una fácil)

No lo hace. El centro de masa es un punto.