El enfoque más simple que podría pensar sería asumir que la distribución es de la forma [math] f (v) = \ phi_x (v_x) \ phi_y (v_y) \ phi_z (v_z) [/ math] y el phi’s es gaussiano : [matemáticas] \ phi (v) = A \ exp (-Bv ^ 2) [/ matemáticas]. Si necesita [math] \ int \ phi (v) dv = 1 [/ math], además de que su distribución da la misma velocidad cuadrática media, entonces puede resolver para [math] A [/ math] y [math ] B [/ math] y ya está. No consideraría esto una gran prueba, aunque fue cómo históricamente el propio Maxwell abordó el problema.
Puede derivar la distribución desde cero con la maquinaria de la mecánica estadística. La función de partición para una partícula libre en un volumen [matemática] V [/ matemática] es:
[matemáticas] \ displaystyle Z = \ frac {1} {h ^ 3} \ int \ exp (- \ beta p ^ 2 / 2m) d ^ 3p d ^ 3x = \ frac {V} {h ^ 3} \ int \ exp (- \ beta p ^ 2 / 2m) d ^ 3p [/ matemáticas]
- ¿Cuáles son las verificaciones para E = mc ^ 2?
- ¿Cómo puede ser el mismo potencial en cualquier punto de un circuito si V = W / q, a pesar de que W depende de la distancia más corta desde un punto fijo (en el infinito)?
- ¿Cuál es la mejor manera de organizar el material de estudio para física, química y cálculo?
- ¿Cómo gira la tierra indefinidamente sin usar una fuente de energía?
- ¿Qué es la teoría de cuerdas y por qué no es completamente válida?
Cambiaremos las variables de momento a velocidad. Entonces la probabilidad de encontrar la partícula en una región dada con una cierta velocidad es:
[matemáticas] \ displaystyle p (v, x) = \ frac {dx ^ 3} {V} \ frac {\ exp (- \ beta mv ^ 2/2) d ^ 3v} {\ int \ exp (- \ beta mv ^ 2/2) d ^ 3v} [/ matemáticas]
Como puede separar las probabilidades – [matemática] p (v, x) = p_x (x) p_v (v) [/ matemática], tiene sentido definir la densidad de probabilidad para la velocidad – [matemática] \ rho (v) [/matemáticas]. Nuestra expresión para ello hasta ahora se ve así:
[matemáticas] \ displaystyle \ rho (v) = \ frac {\ exp (- \ beta mv ^ 2/2)} {\ zeta} [/ math]
Donde [math] \ zeta [/ math] es un factor de normalización dado por:
[matemáticas] \ displaystyle \ zeta = \ int \ exp (- \ beta mv ^ 2/2) d ^ 3v [/ matemáticas]
La evaluación de la integral da [math] \ zeta = (2 \ pi / \ beta m) ^ {3/2} = (2 \ pi kT / m) ^ {3/2} [/ math]. Volvemos a conectar esto a [math] \ rho [/ math] y estamos listos:
[matemáticas] \ displaystyle \ rho (v) = \ left (\ frac {m} {2 \ pi kT} \ right) ^ {3/2} \ exp (-mv ^ 2 / 2kT) [/ math]
