Cómo entender la ecuación de onda de Schrödinger

La ecuación de Schrodinger es una de las ecuaciones más influyentes en la mecánica cuántica. Determina la evolución temporal de un estado cuántico, es decir, cómo cambia en el tiempo, junto con la cuantificación de la probabilidad de medir una partícula en una ubicación determinada [matemáticas] x [/ matemáticas] en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] , que se realiza con la función de onda.

La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es esta:

[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi = \ hat {H} \ psi. [/ math]

Si el operador hamiltoniano [math] \ hat {H} [/ math] se expande definiéndolo como la suma de los operadores de energía cinética y potencial, entonces para una partícula, [math] \ hat {H} = \ dfrac {p ^ 2} {2m} + V [/ math] donde el operador de impulso se define como [math] p = -i \ hbar \ nabla [/ math] ([math] \ nabla [/ math] es el gradiente 3D) y [matemática] m [/ matemática] es la masa de la partícula, [matemática] V [/ matemática] es el potencial, entonces la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo tridimensional se convierte en [matemática] i \ hbar \ frac {\ parcial} { \ partial t} \ psi = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi + V \ psi [/ math]

donde [matemática] i [/ matemática] es la unidad imaginaria, [matemática] \ hbar [/ matemática] es la constante de Planck dividida por [matemática] 2 \ pi [/ matemática], [matemática] \ nabla ^ 2 [/ matemática] es el operador laplaciano (suma de segundas derivadas parciales de cada dimensión espacial en coordenadas cartesianas).

Entonces, ¿qué significa esto físicamente? Bueno, es una ecuación diferencial, y queremos resolver la función de onda [math] \ psi (x, y, z, t) [/ math]. La función de onda es una función que determina la probabilidad de medir una partícula en cualquier ubicación dada en el tiempo [math] t [/ math] por la regla de Born. Esta regla establece que la probabilidad de estar en una ubicación es [matemática] P (x, y, z) = | \ psi (x, y, z, t) | ^ 2 [/ matemática].

Una vez resuelta la ecuación, podemos calcular otras cantidades asociadas con la partícula, como los niveles de energía. Estos niveles de energía pueden o no cuantificarse dependiendo de si el estado está vinculado o no. Lo que nos dice qué tipo de sistema estamos resolviendo es el hamiltoniano [math] \ hat {H} [/ math]. La información sobre la energía del sistema está codificada en esto. El hamiltoniano es solo la suma de la energía cinética y potencial (operadores). Si desea obtener las funciones de onda del hidrógeno, una partícula libre, una partícula en una caja, un potencial oscilador armónico, un potencial de pico infinito, uranio (no muy realista) o cualquier sistema cuántico que desee resolver, debe especifíquelo por el operador de energía potencial [matemática] V [/ matemática] y las energías cinéticas de cada partícula en el sistema cuántico, y las interacciones entre ellas.

Hasta donde yo sé, el sistema más complejo que podemos resolver analíticamente es el átomo de hidrógeno. Cuando resuelve la ecuación de Schrodinger para Hidrógeno, obtiene funciones de onda como esta. Estas son distribuciones de probabilidad que determinan la probabilidad de medir el electrón alrededor del núcleo para diferentes niveles de energía de hidrógeno (aproximadamente).

Se usa la teoría de la perturbación para obtener las energías de sistemas más complicados cuando no se puede resolver analíticamente.

En resumen: la ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, que cuando se especifica el Hamiltoniano del sistema cuántico (los operadores de energía cinética sumados al operador de energía potencial) se puede resolver para producir las funciones de onda del sistema que son distribuciones de probabilidad que encapsulan todo lo que uno puede saber sobre el sistema cuántico. Una propiedad importante de las soluciones a la ecuación de Schrodinger es que las combinaciones lineales de soluciones representan una solución físicamente válida, es decir, es una ecuación lineal.

La ecuación de Schrödinger tiene que ver con la energía .

Se trata de encontrar las diferentes energías que puede tener una partícula.

¡Estamos viendo cosas que pueden tener más de una respuesta! Es posible que hayas estudiado en la escuela secundaria que los átomos tienen niveles de energía. La ecuación de onda de Schrödinger nos permite calcular cuáles son estas energías.

Comencemos por pensar qué es la energía cinética …

Se define como [matemáticas] T = \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]

Resulta que hablar de velocidad no es muy útil. Entonces, cambiamos esta ecuación para que dependa del momento [matemática] (p) [/ matemática]

[matemáticas] T = \ dfrac {1} {2} mv ^ 2. \ dfrac {m} {m} = \ dfrac {1} {2m} (mv ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] T = \ dfrac {p ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

¡Podemos pensar en las partículas como ondas, al menos a escalas pequeñas donde necesitamos usar la Mecánica Cuántica!

Para ayudarnos a movernos entre estas 2 formas de pensar sobre la materia, podemos usar la ecuación de De Broglie

[matemáticas] \ lambda = \ dfrac {h} {p} [/ matemáticas]

¡Ahora no vemos que la materia que nos rodea en nuestra vida cotidiana se comporte como olas porque Plank’s Constant [math] (h) [/ math] es absolutamente pequeña! [matemáticas] [h = 6.62 \ veces 10 ^ {- 34} m ^ 2Kg / s] [/ matemáticas]

Pero espera! La ecuación de De Broglie es útil cuando se trata de partículas diminutas como protones y electrones 🙂

[matemáticas] \ lambda = \ dfrac {h} {p} [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ dfrac {h} {\ lambda} [/ matemáticas]

También tenemos algo llamado [math] \ hbar [/ math]

Está relacionado con la constante de la tabla como [math] \ hbar = \ dfrac {h} {2 \ pi} [/ math]

Ahora, será útil hablar sobre [matemáticas] \ hbar [/ matemáticas] y el número de onda en lugar de [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] …

[matemáticas] p = \ dfrac {h} {\ lambda} = \ dfrac {h} {2 \ pi}. \ dfrac {2 \ pi} {\ lambda} = \ hbar k [/ math]

Donde [math] k = \ dfrac {2 \ pi} {\ lambda} [/ math] es el número de onda. Hicimos para evitar tener [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] corriendo en nuestras ecuaciones. ¡Resulta que es más fácil trabajar con él!

También sabemos que [math] k [/ math] es un cambio que depende de la energía. Como [math] k [/ math] depende solo de [math] \ lambda [/ math], los factores que pueden afectar a [math] \ lambda [/ math] también pueden afectar a [math] k [/ math]. En este caso, ¡es energía!

[matemáticas] T = \ dfrac {p ^ 2} {2m} = \ dfrac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

Utilizamos las funciones de onda para codificar información sobre ondas. Estas son solo ecuaciones con algunas propiedades especiales. Se ven algo así …

[matemáticas] \ Psi = Ae ^ {i (kx-wt)} [/ matemáticas]

Esta es solo otra forma de escribir senos y cosenos. (¡Las ondas son solo combinaciones de senos y cosenos!)

[matemáticas] e ^ {ikx} = \ cos (kx) + i \ sin (kx) [/ matemáticas]

Aquí está la razón para escribir esto en este formato extraño …

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left (e ^ {ikx} \ right) = ike ^ {ikx} [/ math]

Este tipo de problema se llama un problema de valor propio.

[math] e ^ {ikx} [/ math] se llama Función Eigen.

[math] \ dfrac {d} {dx} [/ math] es un operador.

La función Eigen de los operadores son funciones que se devuelven a sí mismas y un nuevo valor Eigen después de que el operador se utiliza en ellas.

Como ya habrás adivinado, al diferenciar esto, obtenemos lo mismo multiplicado por algunas constantes (diferencial del argumento) 😀

¡Hagámoslo de nuevo!

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left (ike ^ {ikx} \ right) = -k ^ 2e ^ {ikx} [/ math]

Aquí, [math] -k ^ 2 [/ math] es el nuevo valor Eigen devuelto (ese es el bit extra)

Ahora hagamos un operador de energía cinética (queremos la energía [matemáticas] E [/ matemáticas] y estamos asumiendo un bajo potencial) …

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ Psi = -k ^ 2 \ Psi [/ matemáticas]

[matemáticas] T = \ dfrac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ dfrac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

Sabemos que habrá un montón de respuestas, así que usaremos nuestra función de onda para generar esas respuestas y también tenemos una forma de escribir [matemáticas] k ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, al poner todo junto, obtenemos …

[matemáticas] E \ Psi = – \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ dfrac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial x ^ 2} [/ math]

Observe que es una derivada parcial en lugar de la habitual. Esto solo significa que hay más de una variable en la función que tratamos como una constante al diferenciar.

Lo que acabamos de hacer es válido para una partícula unidimensional que es independiente del tiempo y no tiene potencial.

Generalicemos un poco esta ecuación …

Para un fotón, [matemáticas] E = hf = \ dfrac {h} {2 \ pi} 2 \ pi f [/ matemáticas]

[matemáticas] E = \ hbar \ omega [/ matemáticas]

Ahora asumiremos que es cierto para las partículas. Resulta ser una buena suposición …

[matemáticas] E = t = \ hbar \ omega [/ matemáticas]

Sabemos que habrá un conjunto de energías, así que queremos saber la ecuación del valor de Eigen.

Esta vez encontraremos una [matemática] E [/ matemática] generando una [matemática] \ omega [/ matemática]

Veamos la función de onda para hacer eso …

[matemáticas] \ Psi = A e ^ {i (k x- \ omega t)} [/ matemáticas]

Como ya habrás adivinado, vamos a tomar el derivado con respecto al tiempo para sacarlo adelante.

[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ Psi = -i \ omega \ Psi [/ matemáticas]

Para tener en cuenta el signo menos (-) simplemente usaremos [math] -ii = 1 [/ math]

[matemáticas] E \ Psi = ih \ dfrac {d} {dt} \ Psi [/ matemáticas]

Y eso es igual a la ecuación que teníamos antes …

[matemática] E \ Psi = ih \ dfrac {d} {dt} \ Psi = – \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ dfrac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial x ^ 2} [/ matemáticas]

¡Tenga en cuenta que esta ecuación es solo para una dimensión espacial! Pero debemos considerar las 3 dimensiones. Las tres dimensiones en el Sistema de coordenadas cartesianas son ortogonales entre sí. Eso significa que no interferirán entre sí.

[matemáticas] T_x = \ dfrac {(P_x) ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

[matemáticas] T_y = \ dfrac {(P_y) ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

[matemáticas] T_z = \ dfrac {(P_z) ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

Cada uno de estos contribuye a la energía total.

Entonces, en tres dimensiones, la ecuación de onda dependiente del tiempo se convierte en …

[matemáticas] \ Psi = e ^ {i (k_xx + k_yy + k_zz- \ omega t)} [/ matemáticas]

Y la versión independiente del tiempo se convierte en …

[matemáticas] E \ Psi = \ dfrac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ left (\ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial z ^ 2} \ right) [/ math]

Esto puede simplificarse más como …

[matemáticas] E \ Psi = \ dfrac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ {2} \ Psi [/ matemáticas]

Donde [math] \ nabla [/ math] es lo que llamamos Nabla.

[matemáticas] \ nabla ^ {2} = \ left (\ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial z ^ 2} \ right) [/ math]

Para incluir el potencial (V) lo modificamos un poco más de esta manera …

[matemáticas] E \ Psi = \ dfrac {- \ hbar ^ 2} {2m} (\ nabla ^ {2} + V) \ Psi [/ matemáticas]

[matemáticas] E \ Psi = \ hat {H} \ Psi [/ matemáticas]

donde [math] \ hat {H} [/ math] es lo que llamamos hamiltoniano.

Entonces, la ecuación de onda completa de Schrödinger se convierte en …

[matemáticas] E \ Psi = \ hat {H} \ Psi = \ dfrac {- \ hbar ^ 2} {2m} (\ nabla ^ {2} + V) \ Psi = i \ hbar \ dfrac {\ partial \ Psi } {\ parcial t} [/ matemáticas]

¡Uf!

Gracias por leer 😀

En una respuesta muy corta, nadie puede entender la ecuación de Schrödinger: Wikipedia porque estos análisis son matemáticos. basado en las llamadas Partículas puntuales!

Esta parece ser la razón principal por la que nadie entiende realmente la mecánica cuántica: ¡Wikipedia!

Sin embargo, nuevas matemáticas. análisis descubiertos:

El CAP de Einstein exige que todas las partículas elementales se describan extendidas en el plano 2D ortogonal a la dirección del movimiento. Esta amplitud explica el QM girar por completo.

Para comprender realmente por qué QM tiene que resolverse en el complejo de dimensiones infinitas llamado Hilbert-Space, visite también mi sitio web:

QM derivado de las teorías de la relatividad de Einstein y reescrito para cumplir con el CAP.

Cómo puedes entenderlo es una cuestión de opinión. La mayoría de las otras respuestas hasta ahora en realidad imponen un cierto formalismo matemático sobre él. Hablando estrictamente, supongo que no sabemos cómo se le ocurrió a Schrödinger, pero si miras hacia atrás en la historia, probablemente fue así (y puedes repetir el proceso si lo deseas). Los matemáticos comenzaron a trabajar en la mecánica newtoniana, y finalmente llegaron a lo que llamamos la ecuación de Hamilton Jacobi. Hamilton fue más allá y demostró matemáticamente que podía manipular esto para expresar el problema en oleadas de acción constante, lo que dejó a todos desconcertados porque no llegó a ninguna parte y, en principio, tuvo problemas incluso para forzar la primera ley de Newton (porque el las olas salieron como un círculo, no como una línea). Finalmente sucedieron tres cosas. Bohr resolvió el problema del espectro de hidrógeno cuantificando el momento angular, pero eso provocó problemas, siendo el más obvio que los orbitales generarían un poderoso campo magnético y no lo hacen. Luego, de Broglie formuló su ecuación de onda, que establece que la acción integrada sobre una longitud de onda es la cantidad de acción h de Planck. Tercero, Heisenberg formuló el Principio de Incertidumbre, que también contiene h.

Entonces, si volvemos a la formulación de la onda de Hamilton, Schrödinger decidió que la fase de la onda debería estar determinada por la acción y luego expresó la onda como ψ = A exp (2 πiS / h ) y luego con un poco de matemática adicional y la física básica, llegó a su ecuación, que es esencialmente una declaración de que la energía debe conservarse. El formalismo que ves vino después.

Las diferencias clave entre la física newtoniana y su ecuación son (a) mientras que la dinámica es completamente determinista, solo son deterministas en ψ, (b) la dinámica muestra propiedades ondulantes y (c) el cambio de fase por período depende de la integral de acción ser un número entero

El problema es, entonces, ¿qué es ψ? Estrictamente hablando, el mismo problema con las olas de Hamilton está ahí. Por lo general, lo solucionamos con el problema del colapso de la función de onda, pero aún surge la pregunta, ¿por qué las partículas aún viajan esencialmente en línea recta? El siguiente problema es, ¿hay realmente una ola? La respuesta habitual a esto, en el sentido físico, es no, entonces, ¿cómo surgen los efectos de difracción? La mejor respuesta a eso parece ser: “Cállate y calcula”, lo que nos lleva al problema central: la ecuación claramente da una explicación correcta de la física, pero nadie sabe lo que significa. Si usted argumenta, como yo, que hay una ola, entonces el problema es, ¿dónde está? Otro punto importante es si expresa ψ = A sin θ , que es una representación estándar de una onda real, la mecánica cuántica no funciona, entonces ¿por qué no? Desafortunadamente, comprender la mecánica cuántica no es exactamente fácil.

Depende de si desea comprender la ecuación o la propiedad que describe. La ecuación misma simplemente describe cómo evoluciona una función de onda en el tiempo. El verdadero problema es: ¿qué es esta misteriosa “función de onda”? En la mecánica cuántica, de donde surgió, la función de onda da la probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado. Sin embargo, en la teoría del campo cuántico, que debería haber reemplazado QM pero (desafortunadamente) no, la llamada función de onda representa la intensidad de un campo de materia. Verá, en QFT, cada cosa que llamamos una partícula (por ejemplo, electrón o protón) es realmente un trozo de campo que se extiende en el espacio, pero que actúa como una unidad. Cada cuanto vive una vida y muere una muerte propia.

Me resulta mucho más fácil imaginar el universo como hecho de campos y cuantos de campo que como partículas que están en una superposición de estar aquí y allá.

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Puedes entender la ecuación de Schrodinger por su formación. Aunque no tiene pruebas rigurosas, la formación lo ayudará a comprender su intuición.

La ecuación de Schrodinger es el principio físico más básico que no puede derivarse de otra cosa. Por lo tanto, no podemos derivar rigurosamente de ningún principio básico.

Hay alguna cita sobre esto,

“No hay necesidad de probar la ecuación de Schrodinger mientras funciona”

“¿De dónde obtuvimos esa ecuación? No donde. No es posible derivarlo de nada que usted sepa. Salió de la mente Schrodinger “_ Richard P. Feynman

Schrodinger estableció su ecuación basada en la hipótesis de la onda de materia de De Broglie, la ecuación de onda plana clásica y la conservación de la energía. La motivación es obtener la ecuación diferencial fundamental de

Consideró una partícula que se mueve libremente en cierta dirección (digamos dirección X positiva)

De la ecuación de onda progresiva plana,

La solución general de y = A e ^ i (kx-wt) + B e ^ -i (kx-wt)

Dado que, consideramos que la partícula se mueve en dirección X positiva, entonces

Para mecánica cuántica, función de onda

corresponde a la variable de onda y del movimiento ondulatorio

Ahora, según la ley de Planck, sabemos que la energía de una partícula es discreta y energética, y depende de la frecuencia de la onda asociada a ella. Entonces,

También de la hipótesis de la onda de Broglies Matter,

Por lo tanto ,

Ahora diferenciación parcial con respecto a x,

También diferenciación parcial con respecto a t,

Sabemos, por la conservación de energía de la materia,

Por lo tanto obtenemos

En tres dimensiones,

Y la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo (también llamada forma de estado estacionario de la ecuación de Schrodinger) es,

De acuerdo con Hamiltonian Mechanics,

El operador de Total Energy que se llama Hamiltoniano es

Entonces la ecuación de Schrondinger en forma hamiltoniana es

La ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental de la física para describir el comportamiento mecánico cuántico. También se le llama a menudo la ecuación de onda de Schrödinger, y es una ecuación diferencial parcial que describe cómo la función de onda de un sistema físico evoluciona con el tiempo. Ver los sistemas de mecánica cuántica como soluciones a la ecuación de Schrödinger a veces se conoce como la imagen de Schrödinger, a diferencia del punto de vista de la matriz mecánica, a veces conocida como la imagen de Heisenberg.

La ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo viene dada por

(1)

donde yo es la unidad imaginaria

es la función de onda dependiente del tiempo,

es la barra h, V ( x ) es el potencial, y

es el operador hamiltoniano. Sin embargo, la ecuación se puede separar en partes temporales y espaciales usando la separación de variables

escribir

(2)

obteniendo así

(3)

Establecer cada parte igual a una constante y luego da

(4)

(5)

entonces

(6)

Por favor vota.

En física, nos preocupamos principalmente por la pregunta, dado el estado actual de un sistema, ¿qué hará en el futuro? La ecuación de Schrödinger es la respuesta matemática a esta pregunta en el contexto de la mecánica cuántica.

En mecánica cuántica, el estado de un sistema está determinado únicamente por su función de onda [matemática] \ Psi (q_1, q_2, q_3,…, t) [/ matemática], donde [matemática] q_1, q_2, q_3,… [/ matemática ] son ​​un conjunto completo de observables compatibles para el sistema y [math] t [/ math] es el tiempo. La probabilidad de encontrar el sistema con alguna combinación de valores particulares de estos observables es igual al módulo cuadrado de la función de onda. La mecánica cuántica se trata de calcular la probabilidad de encontrar el sistema en algún estado en algún momento.

Por lo tanto, dada alguna función de onda inicial [matemática] \ Psi (t) [/ matemática], lo que realmente queremos es la función de onda [matemática] \ Psi (t + \ Delta t) [/ matemática] en algún momento [matemática] t + \ Delta t [/ math] en el futuro. Podemos obtener una idea al expresar la función de onda como su serie Taylor,

[matemáticas] \ Psi (t + \ Delta t) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ Delta t ^ n} {n!} \ frac {\ partial ^ n} {\ partial t ^ n} \ Psi (t) = \ Psi (t) + \ Delta t \ frac {\ partial} {\ partial t} \ Psi (t) + \ cdots [/ math]

Para evaluar esta expresión, necesitamos conocer las derivadas temporales de la función de onda en el tiempo inicial [math] t [/ math]. Esto es precisamente lo que nos da la ecuación de Schrödinger:

[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ Psi (q_1, q_2, q_3,…, t) = \ hat {H} (q_1, q_2, q_3,…, t) \ Psi ( t) [/ matemáticas]

donde [math] \ hat {H} [/ math] es el operador hamiltoniano. El propósito de la ecuación de Schrödinger es decirnos cómo la función de onda, y por lo tanto el sistema, evoluciona con el tiempo. Nos permite hacer predicciones sobre las estadísticas de los sistemas, sobre todo en pequeñas escalas donde el comportamiento se desvía de la descripción clásica.

Si sabes álgebra lineal, ayuda mucho. A menos que desee programar una simulación de la ecuación, la única forma real de aprender sobre las posibles soluciones a la ecuación de onda es resolviendo la ecuación utilizando métodos espectrales.

En otras palabras, separe las variables para obtener la ecuación independiente del tiempo y resuélvala como un problema de valor propio / función propia. Esto es básicamente lo mismo que encontrar vectores propios para una matriz, pero con funciones y operadores en lugar de vectores y matrices.

Este procedimiento se encuentra literalmente en cualquier libro de texto de mecánica cuántica, y el principio se ha introducido en muchas discusiones sobre mecánica cuántica, que el laico nunca notaría.

Bueno, eso depende del nivel en el que quieras entenderlo. En pocas palabras, describe cómo un sistema cuántico cambia con el tiempo, dado un estado inicial. (Es el análogo de la mecánica cuántica de las leyes del movimiento de Newton.) Sin embargo, si desea comprenderlo a un nivel más profundo, necesitará algunos antecedentes en ecuaciones diferenciales parciales y algunas mecánicas vectoriales. ¿Cuál es tu nivel de experiencia en física?

Pregunta : ¿Cómo puedo entender la ecuación de onda de Schrödinger?

La ecuación de Schrödinger es la ecuación de movimiento de partículas en la teoría de la mecánica cuántica, al igual que las leyes de movimiento de Newton gobiernan la dinámica de las partículas en la mecánica clásica.

Echemos un vistazo a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una sola partícula no relativista:

[matemáticas] {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2}} { 2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t)} i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r} , t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t) [/ math]

aquí [math] \ mu [/ math] es la “masa reducida” de la partícula, [math] \ hbar [/ math] es la constante de Planck, V es su energía potencial, [math] \ nabla ^ 2 [/ math] es el laplaciano (un operador diferencial), y [math] \ Psi [/ math] es la función de onda (más precisamente, en este contexto, se llama “función de onda de posición-espacio”).

Algunos datos rápidos sobre la ecuación de Schrödinger:

• Al igual que en la mecánica clásica, la segunda ley de Newton, (F = ma), se usa para hacer una predicción matemática sobre qué camino tomará un sistema dado siguiendo un conjunto de condiciones iniciales conocidas; en mecánica cuántica, el análogo de la ley de Newton es la ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico (generalmente átomos, moléculas y partículas subatómicas, ya sean libres, unidas o localizadas).
• Las soluciones de la ecuación de Schrödinger se denominan función de onda (estado cuántico) de un sistema cuántico y, junto con las reglas para la evolución del sistema en el tiempo, agotan todo lo que se puede predecir sobre el comportamiento del sistema.
• La ecuación de Schrödinger es solo una declaración sobre la energía total de un sistema, cinética más potencial.

Ahora volviendo a la pregunta original, ¿algunas cosas rápidas para aprender de la ecuación de Schrödinger?

Uno:

“¿De dónde obtuvimos esa (ecuación)? En ninguna parte. No es posible derivarla de nada que sepas. Salió de la mente de Schrödinger”. Richard Feynman

Dos: [matemáticas] {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2} } {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t)} i \ hbar {\ frac {\ partial} { \ parcial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf { r}, t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t) [/ math]

Observe la derivada de espacio de segundo orden y la derivada de tiempo de primer orden, esto hace que califique para una ecuación de difusión. Sin embargo, a diferencia de la ecuación de calor, las soluciones no desaparecen exponencialmente debido a la “i” en el término transitorio y, por lo tanto, las soluciones se ven como ondas.

Figura 1: soluciones en descomposición:

Figura 2: soluciones en forma de onda:

Y, por lo tanto, a menudo se llama ecuación de onda de Schrödinger.

Tres: [matemáticas] {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2} } {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t)} i \ hbar {\ frac {\ partial} { \ parcial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf { r}, t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t) [/ math]

Podemos aprender algo más al notar la misma diferencia nuevamente. Como la ecuación tiene una derivada espacial de segundo orden y una derivada temporal de primer orden, la ecuación no es relativistamente invariante. Es decir, dado que el orden de las derivadas del espacio no está en la misma posición que el orden de las derivadas del tiempo, no puede ser relativistamente invariante. (La relatividad de Einstein pone el espacio y el tiempo en pie de igualdad).

Hecho de la diversión:

La ecuación de Klein-Gordon, que es la forma relativistamente covariante de la ecuación de Schrödinger, fue descubierta originalmente por el propio Schrödinger. Pero no tuvo en cuenta el giro del electrón, y predijo la estructura fina del átomo de hidrógeno incorrectamente, por lo que Schrödinger nunca lo publicó.

La ecuación de Klein-Gordon se ve así:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi – \ nabla ^ {2} \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0.} {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi – \ nabla ^ {2} \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ { 2}}} \ psi = 0. [/matemáticas]

(Observe el orden igual de derivadas de espacio y tiempo).

Cuatro:

¡Otro argumento por el cual la ecuación de Schrödinger no puede ser una ecuación de onda es porque tiene un término de masa para la partícula! Como sabemos claramente, las ondas no tienen masa, sino que solo transportan energía de un lugar a otro. Por lo tanto, ciertamente no puede describir el comportamiento de las olas.

Además, la ecuación de Schrödinger se puede reescribir como:

[matemáticas] {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t)} i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) [ /matemáticas]

donde H es el hamiltoniano para el sistema. Como es bien sabido, este hamiltoniano describe la evolución de una partícula y definitivamente no una onda.

Cinco:

La ecuación de Schrodinger es análoga a la ecuación de Fokker-Planck, que es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano.

Esa es probablemente toda la deducción que se puede hacer simplemente mirando la ecuación de Schrödinger.

Para saber algo más, probablemente tenga que buscar las soluciones a la ecuación de Schrödinger, también conocida como la función de onda. Ahí es donde se pueden entender cosas emocionantes como el túnel cuántico y el entrelazamiento cuántico. Pero para comprender todo lo que necesitará, estudie algo de mecánica cuántica.

¿Quieres aprender algo de mecánica cuántica?
Puedes leer mi respuesta aquí: la respuesta de Namit Anand a ¿Cuál es tu lista recomendada como una serie de libros para cubrir Quantum de la A a la Z?

Espero que ayude.

¡Paz!

Gracias por el A2A V Das

Muchas personas simplemente lo declararán como un postulado: no puede derivarse de los primeros principios. Creo que puede ser con la introducción de dos principios cuánticos a la onda viajera clásica con potenciales.

Tome la onda y = A sin (wt – kx). Ahora es fácil mostrar que esto satisface la ecuación de onda clásica 1-D. Ahora sustituya las condiciones cuánticas por el efecto fotoeléctrico E = hf y la ecuación de De Broglie p = h / Lambda. Entonces y satisface la ecuación de Schrodinger cuando usas el hecho de que la energía Total es la suma de las energías cinética y potencial. ¡Encantador! Por supuesto, esta ecuación no era relativista; algo de lo que Schrodinger era muy consciente: de hecho, ya había descubierto en primer lugar la ecuación de Klein-Gordon antes de que lo hicieran, sin embargo, no publicó esto porque no daba resultados correctos para el átomo de hidrógeno. La ecuación actualmente llamada ecuación de Schrodinger sí. Es por eso que publicó esta ecuación en primer lugar. Schrodinger no sabía sobre el giro de electrones en ese momento. Los experimentadores estaban a punto de descubrir el giro en este momento, por lo que Schrodinger decidió ignorar su versión relativista y publicó solo su versión no relativista. Luego, Klein y Gordon redescubrieron la ecuación relativista original de Schrodinger unos dos años después.

Muchas respuestas largas, tiempo para una corta.

Es una ecuación de onda. Las ondas son continuas, en el sentido más simple. No hay discontinuidades masivas.

Resulta que la ecuación S requiere un montón de derivadas parciales de funciones complejas (como en Real + Imaginary) para resolver, y hay una i justo ahí, pero no dejes que eso te asuste.

La mejor analogía que se me ocurre es una piscina anular, con la mitad inferior llena de agua. Pero la cuestión es que puedes deslizarte por esta piscina en la cresta de una ola, para siempre, sin perder energía (bueno, puedes, pero están en cuantos). Lo importante nuevamente es que la onda en la que se encuentra puede ser solo una onda, pero también puede haber otros armónicos.

A medida que lea todas las otras respuestas, solo recuerde que las ondas se “unen” por necesidad, al igual que las notas producidas por una cuerda o un instrumento de viento, excepto en más dimensiones.

Lo siento, no sé mucho al respecto. Esta ecuación se utiliza para describir el comportamiento mecánico cuántico en física. Encontré la explicación en el siguiente enlace algo fácil:

http://scienceworld.wolfram.com/ …

En términos simples, si | psi> representa el estado (o una configuración permitida) de una sola partícula, entonces la ecuación lee que la evolución temporal del estado (LHS, i * h_bar * d | psi> / dt) está gobernada por Hamiltoniano, H_hat (RHS).