Debido a que hay un agujero negro en el problema, es intrínsecamente GR, y si quisiera hacer un cálculo numérico preciso de cuánto tiempo pasaría para cada gemelo, necesitaría arrastrar la maquinaria matemática completa, bastante horrible, de GR.
Sin embargo, la paradoja gemela que está en el centro es independiente de GR, por lo que podemos sustituir un escenario similar de solo SR que también lo exhiba. Hagamos que los gemelos se unan mediante cuerdas a un objeto central masivo (pero no gravitante), de modo que cuando la carga explosiva se dispare, los arroje en direcciones opuestas alrededor de círculos de radio del largo de la cuerda, para que se unan en el otro lado.
Ahora, retrocediendo un poco, la razón principal por la que obtienes simetría paradójica en lo que yo llamo la paradoja del reloj (cualquiera de las piernas de la paradoja gemela consideradas solas) es porque SR alienta firmemente a los gemelos a usar diferentes estándares para comparar los tiempos en el espacio. Vea la respuesta de Mark Barton a ¿Cómo resuelve esta paradoja en la dilatación del tiempo? Es un poco como el tiempo medio de Greenwich versus el tiempo solar local exacto (no redondeado a la hora más cercana) alrededor de la Tierra. Y esto funciona bien siempre que el gemelo desaparezca en los extremos opuestos del universo. El desplazamiento implicado por los diferentes estándares de compilaciones de simultaneidad y construcciones en términos absolutos porque está dado por el misterioso xv / c ^ 2 en la transformación de Lorentz por el tiempo, pero se distribuye a través de una distancia mayor y mayor. Por lo tanto, si bien puede ir muy rápido de este a oeste y viajar hacia atrás en el tiempo solar local, nunca puede retroceder en ninguna de las coordenadas de tiempo prescritas por SR, debido a la velocidad del límite de luz.
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Sin embargo, esto no funciona si intenta doblar todo el esquema alrededor de un círculo, por la misma razón que no funciona muy bien con la hora solar local: termina con una (mini) Línea de fecha internacional. Y eso es bastante justo: la formulación estándar de SR es (o debería ser) extremadamente clara de que todos los resultados dependen de manera crucial de que todos los marcos de medición sean inerciales. Si intenta anclar un marco de medición a un objeto que va en círculo porque está atado por una cuerda a un objeto pesado y, por lo tanto, experimenta una aceleración centrípeta, todas las apuestas están canceladas. Las cosas no van a sumar.
Por cierto, esto es un problema real para los experimentos en la superficie de la tierra. El tiempo del Sistema de Posicionamiento Global es muy preciso, pero está sincronizado a través del espacio como lo recomendaría SR para un observador que se mueve con el centro de la tierra. No está sincronizado como SR recomendaría para un observador que se mueve más allá de la tierra en una tangente para estar brevemente en contacto con un laboratorio en particular en la superficie. El famoso experimento de Hafele-Keating que probó la dilatación del tiempo sobre la superficie de la tierra está usando implícitamente una coordenada de tiempo de estilo GPS (no ese GPS existía en ese momento) para tiempos sino velocidades relativas a la tierra, por lo que la contribución de la velocidad a la dilatación del tiempo parece asimétrico (96 ns hacia el oeste y -184 ns hacia el este) contra la función habitual [math] \ gamma (v) = 1 / \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} [/ math], que es simétrica. Si transformó las velocidades (incluida la velocidad cero del laboratorio local) en el mismo marco que los tiempos (que Hafele y Keating deben haber hecho en algún momento), todos son más o menos hacia el este debido a la rotación del tierra.
El resultado es que
(i) no hay nada que le impida analizar la situación en el marco del objeto pesado central, lo que da la predicción inequívoca y correcta de que cuando los gemelos se encuentren tendrán la misma edad.
(ii) si los gemelos intentan analizar la situación a partir de cuadros en los que están estacionarios, utilizando fórmulas de la formulación estándar SR, no debe esperar que los resultados tengan mucho sentido porque esos cuadros son necesariamente no inerciales. Si desea hacer un poco de recuperación rápida ad hoc, puede permitir que uno de los gemelos arroje una mini línea de fecha internacional, pero eso es de mal gusto.
(iii) si realmente, realmente quieres contar una historia consistente del POV de los gemelos, necesitas tomar prestadas técnicas matemáticas de GR. Tendrás que permitir que cada uno de los gemelos vea el espacio lleno de varios campos pseudogravitacionales (después de todo, desde el punto de vista de uno de los gemelos, todo lo demás en el universo se mueve en un círculo, por lo que debe haber algo que represente esto), y estos campos afectan a los relojes de la misma manera que la gravedad lo hace en GR completo. Pero de esa manera se encuentra la locura: los detalles técnicos son horribles.
