En realidad, diría que la interpretación correcta es que las representaciones irreductibles del grupo de simetría tienen ciertas propiedades físicas que justifican llamarlas “partículas”.
Llamaré “sistema cuántico” a un sistema físico que se describe mediante el formalismo estándar de la Mecánica Cuántica (QM). A priori, no sabemos cuáles son todos los posibles sistemas cuánticos concretos y sus propiedades físicas particulares.
Ahora, considere un fondo clásico de espacio-tiempo M (en realidad, consideraremos solo dos ejemplos: el espacio-tiempo galileano y el espacio-tiempo Minkowski). Nos gustaría considerar los sistemas cuánticos que “viven” en este espacio-tiempo, para clasificarlos y estudiar sus propiedades particulares. Entonces, ¿cómo capturamos / definimos la noción de que un sistema cuántico particular vive en un espacio-tiempo particular? En los ejemplos del espacio-tiempo de Galilea y el espacio-tiempo de Minkowski, sabemos que existe una familia de sistemas de coordenadas preferidos llamados “sistemas inerciales” y que hay transformaciones que los conectan entre sí. Estas transformaciones forman un grupo que llamamos el “grupo de relatividad especial” (en el espacio-tiempo galileano, es el grupo Galilei de transformaciones galileanas; en el espacio-tiempo Minkowski, es el grupo Poincaré).
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Tome un sistema cuántico genérico que vive en un espacio-tiempo. En un sistema inercial particular O, el sistema se describe mediante un espacio de Hilbert H; en otro sistema inercial O ‘, por un espacio de Hilbert H’. Ahora, según O, el estado cuántico del sistema es el estado puro S y según O ‘es S’. El primer requisito que hacemos es que H sea isomorfo a H ‘. Entonces, describimos el sistema por un solo espacio H de Hilbert (pero, aún así, diferentes observadores usan diferentes estados puros para caracterizar el sistema). Si los dos sistemas inerciales están relacionados por una transformación t, entonces queremos un mapa T, asociado a t, desde el espacio de estados a sí mismo de modo que S ‘= T (S). Pero la física debe ser la misma sin importar qué observador realice las mediciones. Entonces, hacemos el segundo requisito: T debe ser biyectivo y debe preservar las amplitudes de transición, es decir, si S es el operador de clase de trazado positivo asociado al rayo, en el espacio de Hilbert, que describe el estado puro, debemos tener tr (S1S2 ) = tr (T (S1) T (S2)). Decimos que T es una simetría de Wigner (todo esto puede reformularse en términos de estados generales y transformaciones que preservan la convexidad del espacio de estados, estos se llaman simetrías de Kadison). El tercer requisito es que el mapeo t -> Tt tiene que ser un homomorfismo grupal, es decir, una representación del grupo de relatividad especial en términos de simetrías (Wigner) del sistema cuántico. Llamamos a dicho sistema un “sistema covariante cuántico”, y esta es la caracterización que estábamos buscando.
Para el caso del grupo de Poincaré, ahora se aplica una serie de teoremas (el de Wigner y el de Bargmann) para obtener el siguiente resultado: existe una correspondencia biyectiva entre las representaciones t -> Tt de la (parte conectada de la identidad del) grupo de Poincaré como simetrías y representaciones unitarias t ‘-> Ut’ de la cobertura universal del mismo grupo.
Por lo tanto, para clasificar todos los posibles sistemas covariantes cuánticos de Poincaré, debemos clasificar todas las representaciones unitarias (y muy continuas) posibles de la cobertura universal del mismo grupo. Este es un problema puramente matemático para resolver. Primero, nos restringimos a representaciones irreducibles y llamamos a los sistemas correspondientes “sistemas covariantes cuánticos de Poincaré irreducibles”.
El grupo en consideración es un producto semidirecto de las traducciones espacio-temporales (simplemente, el abeliano R ^ 4) con la cobertura universal del grupo de Lorentz apropiado, SL (2, C). Tenga en cuenta que el grupo de productos semidirectos en consideración no es compacto . Existe toda una teoría matemática para tratar con la teoría de la representación unitaria irreducible de este tipo de grupos (desarrollada por G.Mackey basada en trabajos de Stone, von Neumann y Wigner); Se llama la “Máquina de Mackey”, un corolario del Teorema de la Impresimitividad de Mackey. Básicamente, la teoría ofrece una receta algorítmica para construir un tipo particular de representaciones unitarias irreducibles del grupo, llamadas “representaciones inducidas”. El contenido del teorema de Mackey Machine es que todas las demás representaciones unitarias irreducibles del grupo son equivalentes a una de estas representaciones inducidas. Entonces, ahora, solo tenemos que construir la familia de las diferentes representaciones inducidas posibles para resolver nuestro problema de clasificación. Como, como se mencionó, la teoría ofrece un método para hacerlo, es relativamente sencillo. Uno observa que las representaciones irreducibles obtenidas están sobre espacios dimensionales infinitos, esto es posible ya que el grupo no es compacto (por lo tanto, el teorema de Peter-Weyl no se aplica).
Entonces, ahora, hemos clasificado los diferentes tipos posibles de sistemas covariantes de Poincaré cuánticos irreducibles y tenemos en nuestras manos los espacios de Hilbert y las representaciones en forma matemática explícita y concreta. Es, entonces, hora de estudiar cuáles son las propiedades físicas de estos sistemas. Tomamos una de las representaciones unitarias. Sabemos, por el teorema de Stone, que podemos obtener una representación esencialmente autoadjunta del álgebra de Lie del grupo (en general, por operadores ilimitados; sin embargo, existe un dominio invariante común). Obtenemos los generadores infinitesimales de las traducciones espacio-temporales y las rotaciones espaciales, en particular. La interpretación física del operador de traducción de tiempo es como el hamiltoniano E del sistema, las traducciones espaciales como los momentos lineales, P y las rotaciones espaciales como los momentos angulares (totales). Dado que el grupo de traducciones espacio-temporales es abeliano, obtenemos que la energía conmuta con momentos lineales, es decir, los momentos lineales se conservan y, por lo tanto, nuestros sistemas son sistemas libres . Además, hay toda una familia de representaciones que satisfacen E ^ 2-P ^ 2 = (m ^ 2) I, donde I es el operador de identidad ym es un parámetro que clasifica las diferentes órbitas de la acción del grupo de Lorentz en el momento Representación del espacio-tiempo. Pero, dado que E es energía y P es momentos lineales, ¡m tiene que ser masa ya que la fórmula anterior es solo la relación relativista estándar entre estas cantidades! Por lo tanto, (algunos de) nuestros sistemas son sistemas masivos. ¡El cálculo de los momentos angulares revela que se divide en dos partes, que uno reconoce inmediatamente como el giro habitual y los momentos angulares orbitales! Por lo tanto, el giro emerge naturalmente en nuestro formalismo y también es uno de los parámetros que clasifica nuestros diferentes sistemas posibles (el otro es la masa). Finalmente, si evolucionamos estados de acuerdo con nuestro hamiltoniano, usando la relación de energía anterior, obtenemos, por ejemplo, para el caso spin = 1/2, la ecuación de Dirac habitual como ecuación de onda (por lo tanto, el cálculo del spinor emerge naturalmente). Para spin = 0, obtenemos la ecuación de Klein-Gordon y así sucesivamente. Hay más representaciones, en particular, representaciones sin masa. Por lo tanto, nuestro formalismo incorpora naturalmente partículas sin masa (para el caso helicidad = 1, ¡la ecuación de onda resulta ser las ecuaciones de Maxwell libres !; para helicidad = 2, ¡son las ecuaciones de campo de Einstein de vacío linealizado de GR!). Además, a través de la teoría de Sistemas de Imprimitividad, se puede estudiar el problema sobre la existencia de operadores de posición para estos sistemas (el llamado problema de localización). El resultado es que existe para las representaciones masivas, pero no para las sin masa.
Si todavía está conmigo después de esta respuesta algo larga, finalmente podemos decir que es debido a todas las propiedades físicas anteriores que llamamos “sistemas covariantes de Poincaré cuánticos irreducibles” simplemente “partículas cuánticas libres relativistas elementales de masa my espín s “. De hecho, utilizamos estos sistemas covariantes para modelar partículas que sabemos que existen, como electrones (no cero m, s = 1/2), fotones (m = 0, s = 1), etc.
El supuesto de irreductibilidad es esencial para obtener la interpretación física anterior “como partículas” para estos sistemas cuánticos covariantes. Si abandonamos este supuesto, obtenemos otros sistemas que también son sistemas cuánticos covariantes según nuestra definición, pero no son partículas elementales; por ejemplo, pueden ser campos cuánticos relativistas.
Se puede ejecutar un argumento similar para clasificar todos los “sistemas covariantes cuánticos irreductibles de Galilei”. Los detalles matemáticos están más involucrados ya que uno tiene que trabajar con representaciones unitarias proyectivas en lugar de con representaciones unitarias verdaderas; entonces, uno tiene que tomar extensiones centrales, etc. El resultado es que todos son masivos, localizables (las relaciones de conmutación canónica habituales se obtienen como teoremas), con spin sy el hamiltoniano resulta ser el hamiltoniano habitual para los no partícula cuántica libre relativista, es decir, ¡recuperamos todos los resultados de la QM no relativista estándar (incluido el giro !, es falso que sea un “efecto relativista”) simplemente estudiando y clasificando los sistemas covariantes de Galilei cuánticos irreductibles!
La única referencia que hace que todo esto sea correcto y riguroso es la siguiente: Amazon.com: Geometry of Quantum Theory (9780387493855): Veeravalli Seshadri Varadarajan: Libros
También son de interés: “Relatividad general” de R.Wald (capítulo 13 sobre hiladores); “QFT, una guía turística para matemáticos” por G.Folland.
