Las “cargas conservadas” son cantidades conservadas tales como energía, momento, momento angular, carga eléctrica (entre otras). Las cargas conservadas pueden moverse y el flujo de cargas conservadas son “corrientes conservadas”.
En el teorema de Noether, generalmente deriva una corriente conservada de una simetría de la teoría. A partir de esa carga conservada, puede hacer declaraciones radicales como “la energía nunca se pierde, solo se transmuta de una forma a otra”.
El caso más simple es una teoría de un campo escalar complejo libre
[matemáticas] \ matemáticas {L} [\ phi] = \ partial_ \ mu \ phi \ partial ^ \ mu \ phi ^ * – m ^ 2 \ phi \ phi ^ * [/ math]
Esta teoría tiene una simetría.
[matemáticas] \ phi \ rightarrow e ^ {i \ alpha} \ phi [/ math]
significa que
[matemáticas] \ matemáticas {L} [\ phi] = \ matemáticas {L} [e ^ {i \ alpha} \ phi] [/ matemáticas]
Esto solo es cierto para [math] \ alpha [/ math] siendo constante, si [math] \ alpha = \ alpha (x) [/ math] entonces
[matemática] \ matemática {L} [\ phi] \ ne \ matemática {L} [e ^ {i \ alpha (x)} \ phi] [/ matemática]
Si Taylor expandimos el lagrangiano con respecto a [math] \ alpha (x) [/ math] obtenemos
[matemáticas] L [\ phi] – \ partial_ \ mu \ alpha (x) j ^ \ mu [\ phi] + \ mathcal {O} (\ alpha ^ 2) [/ math]
El segundo término es una derivada total porque, si [math] \ alpha [/ math] fuera constante, entonces el término tendría que desaparecer
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Este término [matemáticas] j ^ \ mu [\ phi] [/ matemáticas] es la corriente conservada y en este caso
[matemática] j ^ \ mu = \ phi ^ * (\ partial ^ \ mu \ phi) – (\ partial ^ \ mu \ phi ^ *) \ phi [/ math].
Esto satisface
[matemática] \ parcial_ \ mu j ^ \ mu = 0 [/ matemática] que es la definición de conservación. Si separamos los componentes temporales y espaciales
[matemáticas] \ partial_t \ rho – \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {j} = 0 [/ matemáticas]
o
[math] \ partial_t \ rho = \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {j} [/ math].
Cuando integramos esto sobre la región espacial V encontramos [matemática] \ partial_t \ int_V d ^ 3x \ rho = \ int_V d ^ 3 x \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {j} = \ int _ {\ parcial V} d ^ 2 \ vec {S} \ cdot \ vec {j} [/ math]
usando el teorema de Gauss.
Llamando a [math] \ int_V d ^ 3x \ rho = Q [/ math], el cargo y
[matemáticas] \ int _ {\ parcial V} d ^ 2 \ vec {S} \ cdot \ vec {j} = \ Phi [/ matemáticas], el flujo,
encontramos
[matemáticas] \ frac {d} {dt} Q = \ Phi [/ matemáticas]
que dice que la tasa de cambio en el tiempo de la carga es igual al flujo que entra o sale de la región.
