Bien, considere la ecuación del oscilador armónico cuántico 1-D:
[matemáticas] \ hat {H} = \ frac {\ hat {p} ^ 2} {2m} + \ frac {m \ omega ^ 2 \ hat {x}} {2} [/ math]
Donde [math] \ hat {H} [/ math] es el operador Hamiltoniano (Energía), [math] \ hat {p} [/ math] es el operador de momento, m es la masa de la partícula, [math] \ omega [/ math] es la frecuencia angular del oscilador y [math] \ hat {x} [/ math] es el operador de posición.
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La respuesta directa, pero probablemente inútil, es que la solución a esta ecuación, a saber, la expresión matemática para el estado cuántico que la obedece, resulta que sus niveles de energía asociados cambian en intervalos iguales.
Pero siento que quieres una respuesta intuitiva, y lo intentaré para proporcionarte una:
Primero, eche un vistazo a los dos operadores en el lado derecho. Si fueran números, en lugar de ser operadores, entonces la cantidad
[matemáticas] \ hat {x} \ hat {p} – \ hat {p} \ hat {x} [/ math]
sería idénticamente igual a cero. Pero no son números, son operadores, y resulta que estos dos operadores no conmutan, lo que significa que la diferencia anterior, la diferencia entre las dos operaciones realizadas en un orden diferente, siempre es una cantidad distinta de cero. Esto se llama el conmutador. El conmutador le indica en qué medida dos cantidades no se conmutan, pero para nuestros propósitos, lo más importante aquí es que el conmutador le indica en qué medida los dos operadores no son independientes entre sí.
Si dos operadores son completamente independientes, no importa qué operación realice primero, porque ninguna operación tiene ningún efecto en la siguiente (eso es lo que quiero decir con independencia). Pero si no son completamente independientes, sí importa, y obtienes un resultado diferente de tu secuencia de operaciones dependiendo del orden en que las lleves a cabo. Matemáticamente, este fracaso de la independencia se manifiesta en la forma de un conmutador distinto de cero. Permítanme llamar a esto la “condición de dependencia”: los dos operadores dependen el uno del otro de tal manera que se obtiene un conmutador distinto de cero.
Ahora, dada esta información, mire hacia atrás en la ecuación anterior: en el lado izquierdo, tiene un operador que le dirá qué energías están permitidas. A la derecha tiene algunas cantidades, incluidos dos operadores que, como se discutió, no son independientes entre sí.
Como los operadores de la derecha no son independientes entre sí, esto introduce una restricción: la energía que se obtiene a la izquierda solo puede ser coherente con una cantidad tal que los dos operadores de la derecha cumplan con la “condición de dependencia” . Eso excluye ciertos niveles de energía, pero podría preguntar “¿cuál?”.
Bueno, la respuesta detallada requiere que se haga el cálculo, pero a los fines de esta pregunta no necesitamos hacer esto. Todo lo que tenemos que recordar es que la exclusión de ciertos niveles de energía debe ser tal que, dado cualquier valor de energía permitido, la “condición de dependencia” excluya los valores de energía en su vecindad. La única forma en que esto no sería cierto si el conmutador fuera cero: entonces los dos operadores serían independientes, y cualquier valor de Energía antiguo sería permitido por el operador en el lado izquierdo, lo que significa que no habría restricciones en la Energía permitida. niveles en la vecindad para cualquier otro valor de energía que ya estaba permitido.
Entonces, debido a la “condición de dependencia”, solo puede tener ciertos niveles de Energía permitidos en la vecindad de un nivel de Energía que ya está permitido. Qué tan lejos debe ir un nivel de energía vecino de un nivel de energía permitido antes de que sea el nivel permitido más cercano depende en última instancia del conmutador, ya que eso expresa en qué medida los dos operadores son dependientes.
Ahora, para cualquier nivel de energía permitido, habrá niveles de energía vecinos que son los más cercanos y qué tan cerca se acercan, es decir, el intervalo entre ellos depende del conmutador. Aproximadamente, cuanto más pequeño es el conmutador, menor es el intervalo para el siguiente nivel de energía permitido, y cuanto mayor es el conmutador, mayor es el intervalo (esto también depende de otras cosas, como que los dos operadores de la derecha se producen en la segunda potencia , pero por simplicidad, ignoraré esta consideración)
Ahora, aquí viene el último paso: el conmutador es constante. Pero, siendo todo lo demás igual, eso implica que el intervalo entre dos niveles de energía permitidos que son los más cercanos entre sí también es constante. Además, dado que esta condición se cumple para cualquier par arbitrario permitido de niveles de energía permitidos más cercanos, debe ser la misma constante, para cualquiera de ellos.
Y eso significa que los niveles de energía deben estar igualmente espaciados.
Una nota sobre el comentario de los “muros”: no estoy seguro de a qué se refiere, sería mejor preguntarle a la persona que lo mencionó. Mi sospecha es que se referían a la visualización del oscilador armónico cuántico. Sin embargo, no veo cómo eso explica por qué los niveles de energía están igualmente espaciados.
