¿Por qué usamos números complejos en física (por ejemplo, mecánica cuántica)?

Es muy conveniente. Muchas cantidades físicas muestran comportamientos como las ondas (como en electrodinámica, mecánica cuántica, etc.). Por lo tanto, es bastante natural utilizar parámetros complejos para mostrar (magnitud / frecuencia) o (frecuencia / fase).

También tiene el conjunto de herramientas extremadamente poderoso de la teoría de funciones complejas a su disposición, que ayuda mucho con las matemáticas (integrales de contornos, mapeos de conformidad, teorema de residuos).

Y la física está fuertemente influenciada por las representaciones de grupos, siguiendo el famoso teorema de Noether sobre simetrías y cantidades conservadas. La teoría de la representación sobre los números complejos nuevamente es muy simple, en comparación con las representaciones valoradas reales.

Los números complejos son a menudo soluciones de ecuaciones diferenciales en física. Y las ecuaciones diferenciales describen cómo cambia una cantidad física con alguna variable dependiente como el espacio y el tiempo, etc.

Por lo general, las materias de ecuaciones diferenciales y análisis complejos son los cursos cuarto y quinto de la secuencia de la universidad de matemáticas aplicadas. Por lo general, se toman aproximadamente al mismo tiempo que los fenómenos de onda y la mecánica cuántica en física o ingeniería, que dependen en gran medida de estas matemáticas.

Los números complejos son solo algo que inventamos en álgebra si queremos que las reglas definan cada tipo de número. Supongamos que seguimos definiendo las raíces cuadradas de los enteros, las reglas multiplicativas y aditivas de los positivos y negativos, por ejemplo:

-1 * -1 = 1

-3 + 3 = 0

3 * -1 = -3

Entonces, lentamente construimos un conjunto de reglas para los números. Ahora, descubrimos que nuestras reglas de poderes y multiplicación funcionan en casi todos los casos y podemos pasar hábilmente de un número al siguiente; el elemento que falta es que no podemos raíz negativa de raíz cuadrada.

Entonces inventamos una regla para eso, la raíz cuadrada de -1 es i. Y luego inventamos algunas reglas para i para que cumpla su función, i al cuadrado es -1, i a la potencia de cuatro es 1, i al cubo es negativo en sí mismo, y así sucesivamente.

Ahí tenemos todas las reglas algebraicas que necesitamos. Sucede que la regla algebraica que inventamos conduce a otras propiedades.

Si investigamos qué se eleva el exponencial (2.718) a este nuevo número multiplicado por un entero (x), encontramos un comportamiento muy extraño. El número oscila, en una curva suave y periódica; ¡acabamos de descubrir seno y coseno sin usar un solo triángulo o círculo!

Porque creamos un número, i, que es periódico. ¿Cuál es el poder de 2,3,4,5,6? Debería ver que siempre oscila entre -i, i, 1 y -1. ¡Nunca deja este dominio de números!

Entonces inventamos el primer número periódico, y cuando lo manipulamos un poco obtenemos las funciones coseno y seno.

Por eso es útil. Debido a que las reglas que le dimos le permiten comportarse de manera periódica, y muchos fenómenos que observamos en el universo son periódicos. Las órbitas de los planetas, las vibraciones de electrones y fonones, las rotaciones de cuerpos rígidos, etc.

Por esta razón, creemos que podría haber una similitud entre nuestra pieza inventada de ‘lenguaje’, i, y la naturaleza del mundo físico. Esto puede no ser cierto, pero por ahora ha sido muy útil en el modelado de phenomona.

No lo usamos por elección. Lo usamos porque lo necesitamos.

Se usa todo el ‘Formalismo complejo’ porque es indispensable. Sin ella, simplemente nos quedamos cortos de la maquinaria requerida.

Por ejemplo, en 3 dimensiones (el espacio en el que vivimos) necesita tener 3 vectores propios del operador que causen rotaciones sobre el eje z. Los reales solo darán uno, el eje z.

En los sistemas de espín, por ejemplo, spin-1/2, no podemos construir el conjunto completo de estados sin usar números complejos.

No podemos probar el requisito de que los operadores sean hermitianos por el hecho de que los valores esperados son reales, en un espacio vectorial real. Debemos recurrir a un espacio vectorial complejo.

Los reales simplemente no describen la naturaleza.

Realmente es solo una convención matemática. Los números complejos son efectivamente solo vectores de dos elementos, y las matemáticas vectoriales y el “álgebra lineal” generalizan eso a más dimensiones y a cosas como matrices y tensores.

Honestamente, desearía que la gente dejara de hablar de “números complejos” y simplemente hablara de un espacio numérico bidimensional.

” ¿Por qué usamos números complejos en física (por ejemplo, mecánica cuántica)?”

Los números complejos en representación polar tienen una magnitud y fase. Muchas cosas en física son periódicas, con una magnitud y fase.

A menudo hay una gran conveniencia en el uso de números complejos para describir propiedades periódicas. En el caso de la mecánica cuántica, es la magnitud y la fase de la función de onda.

Nosotros, y por nosotros, quiero decir ellos, los usamos porque ellos también lo han hecho.
(no hay otra manera. El complejo simplemente se impone).