La respuesta corta es que este escalar puede considerarse como valorado en el grupo de indicadores U (1) que es magnéticamente dual al grupo de indicadores original.
Supongamos que tenemos electromagnetismo en dimensiones 2 + 1 con intensidad de campo F = dA (una forma de 2). Clásicamente, la transformación de la dualidad es la siguiente. Considere la forma 1 B = * F hodge-dual a F. En ausencia de cargas eléctricas, B está cerrado, ya que las ecuaciones de Maxwell dicen dB = d * F = 0. Por lo tanto, podemos escribir (al menos localmente) B = df, para algunos escalares f. Este es el escalar dual a A.
Sin embargo, ahora supongamos que tenemos cargas eléctricas no triviales q_i siguiendo las líneas mundiales [math] \ gamma_i [/ math], de modo que
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[matemáticas] d * F = \ sum_i 2 \ pi q_i \ delta _ {\ gamma_i} (x) [/ matemáticas]
donde [math] \ delta _ {\ gamma_i} (x) [/ math] es una forma 2 que está localizada en la función delta a lo largo de la curva [math] \ gamma_i [/ math] (esta es solo la corriente EM asociada a un partícula puntual que se mueve a lo largo de [math] \ gamma_i [/ math]). En esta situación, el 1-forma B ya no está cerrado, ya que las cargas eléctricas dan contribuciones localizadas a dB. En consecuencia, no podemos simplemente integrar B a una función escalar. Sin embargo, considere la integral de B alrededor de un circuito cerrado C, que supondremos por simplicidad es el límite de alguna superficie [matemática] C = \ parcial \ Sigma [/ matemática]. Entonces tenemos
[matemáticas]
\ int_C B = \ int _ {\ Sigma} \ sum_i 2 \ pi q_i \ delta _ {\ gamma_i} (x)
= \ sum _ {\ gamma_i \ cap \ Sigma \ neq 0} 2 \ pi q_i
[/matemáticas]
Suponiendo que la teoría eléctrica es una teoría de calibre U (1), q_i debe cuantificarse en unidades de alguna carga fundamental e. Por lo tanto, el cálculo anterior muestra que la integral de B alrededor de un bucle cerrado es siempre un múltiplo entero de [matemática] 2 \ pi e [/ matemática], lo que significa que la integral f de B está bien definida hasta la periodicidad [matemática] f \ to f + 2 \ pi e [/ math].
Físicamente, podemos pensar en B como el potencial vectorial del doble magnético a la teoría original. Acabamos de ver que en presencia de cargas eléctricas, la holonomía de B está naturalmente valorada en U (1), por lo que la teoría dual magnética también debe ser una teoría de calibre U (1) (en oposición a una [matemática] \ mathbb {R} [/ math] teoría del medidor).
