El rizo de un gradiente es cero. ¿Qué significa esto?

Suponga que tiene un campo escalar diferenciable [matemática] u [/ matemática]. [math] u [/ math] tiene un solo valor escalar en cada punto, y debido a que es diferenciable no hay saltos. Mientras camina por este paisaje, sube y baja suavemente en elevación.

El gradiente [math] \ nabla u [/ math] es un campo vectorial que apunta hacia arriba. Moverse en esa dirección aumentará más tu elevación. Si coloca una bola en algún lugar, rodará cuesta abajo, o en la dirección [matemáticas] – \ nabla u [/ matemáticas].

El campo vectorial [math] \ nabla u [/ math] es un campo conservador porque la integración de una ruta que le da el cambio total en la elevación solo puede darle un valor único, la diferencia del valor de [math] u [/ matemáticas] donde terminaste y donde comenzaste.

Este es el teorema fundamental de las integrales de ruta. Si nuestro campo vectorial es el gradiente de algo, entonces no importa cuál sea nuestro camino.

[matemáticas] \ displaystyle \ int_C \ nabla u (r) \ cdot dr = u (r_1) – u (r_0) [/ math]

Si nuestro campo vectorial no es conservador, tenemos que integrarlo de la manera difícil. Parametrizamos nuestra función e integramos por fuerza bruta

[matemáticas] \ displaystyle \ int_C f (r) \ cdot dr = \ int_ {0} ^ {1} f (r (t)) \ cdot dr (t) = \ int_ {0} ^ {1} [f ( r (t)) \ cdot \ frac {dr} {dt}] dt [/ math]

En un campo no conservador podemos terminar en el mismo lugar, pero con una cantidad diferente de trabajo realizado.

¿Qué es el rizo? Curl es una medida del trabajo realizado en un circuito cerrado alrededor de ese punto. Claramente, si un campo es conservador, su curvatura debe ser cero en todas partes. Si un campo no es conservador, a diferencia del bonito paisaje montañoso que teníamos antes, es más como una escalera de caracol. Puede seguir dando vueltas y vueltas mientras aumenta su elevación.

[math] f = \ nabla u \ Rightarrow f [/ math] conservador [math] \ Rightarrow \ nabla \ times f = \ nabla \ times \ nabla u = 0 [/ math]

En términos más generales, podemos usar el Teorema de Stokes, que dice que la cantidad de trabajo realizado en una integral de bucle es lo mismo que integrar todo el rizo en una superficie cuyo bucle es su límite.

[matemáticas] \ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} f (r) \ cdot dr = \ int \ int _ {\ Sigma} \ nabla \ times F \ cdot d \ Sigma [/ math]

Con esto es fácil ver que un campo es conservador si y solo si su curvatura es cero en todas partes.

Este es un caso especial del Teorema de Stokes más general

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {d \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} d \ omega [/ math]

Lo que dice que integrar alguna forma en el límite es lo mismo que integrar el diferencial de esa forma en el interior. Todas las piezas pequeñas contribuyen al conjunto. El teorema fundamental del cálculo, el teorema fundamental de las integrales de ruta, el teorema de Green, el teorema de la divergencia y el teorema anterior provienen de esto.

El gradiente de cualquier vector representa el flujo exterior total que pasa a través de la superficie a medida que la superficie se contrae hasta un punto p. Mientras que la curvatura de cualquier vector es un vector axial que representa la circulación de un vector alrededor de un punto A. Entonces significa que el gradiente de cualquier vector no circula.

Otro significado es que el gradiente podría representar un campo vectorial conservador. La curvatura del campo vectorial conservador es cero.

El gradiente es un vector con tres funciones escalares, digamos f (x), f (y) yf (z), cada función es independiente de las coordenadas de las otras dos, de modo que f (x) es independiente de y z, y f (y) de x y z, y así sucesivamente.

Cuando el Rizo se aplica al Grad, las derivadas de los productos cruzados desaparecen.

En los idiomas simples, una pendiente de una superficie solo puede fluir a lo largo de las direcciones de sus funciones y no puede circular o curvarse entre las funciones.

Mohamed F. El-Hewie

A2A, gracias.

Significa que el campo vectorial dado por el gradiente es irrotacional ; ver Campo de vectores conservadores – Wikipedia.