Nota: Para distinguir las métricas que se usan, los matemáticos a menudo usan la notación [math] \ mathbb {R} ^ {p, q} [/ math] para denotar Euclidean [math] n [/ math] -space ([math ] n = p + q [/ math]) con la métrica / pseudométrica [math] \ mathsf {diag} (\ underbrace {1, \ ldots, 1} _p, \ underbrace {-1, \ ldots, -1} _q ) [/ math] o explícitamente,
[matemáticas] ds ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {p} dx_i – \ sum_ {j = p + 1} ^ {n} dx_j [/ matemáticas]
Si [matemática] q> 0 [/ matemática], entonces este espacio tiene una métrica que no es ni definitiva ni positiva ni negativa. El caso [math] q = 1 [/ math] es Minkowski [math] n [/ math] -space, donde [math] n = p +1 [/ math]. Finalmente, usaré la notación física: [matemáticas] dx ^ i \ otimes dx ^ j: = dx ^ i dx ^ j [/ matemáticas]
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- Con respecto a la derivación de la fórmula de dilatación del tiempo en relatividad especial, ¿cuál es la forma matemática de [matemáticas] t ^ 2 = \ frac {c ^ 2 \ cdot t '^ 2} {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas] a [matemáticas] t = \ frac {t '} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]?
Sridhar Ramesh (véanse los comentarios) es bastante correcto que las incrustaciones isométricas de [math] \ mathbb {R} ^ {1,1} [/ math] (por ejemplo, Minkowski Space) son difíciles de describir intuitivamente. Sin embargo, si estamos dispuestos a perder la preservación de la distancia (isometría) pero preservar los ángulos (eso es un mapeo conforme ), podemos visualizar el plano de Minkowski con bastante facilidad. Explícitamente, utilizaremos la herramienta de Diagramas de Penrose , que puede ayudar a ayudar en la visualización. Son mapas conformes de [math] \ mathbb {R} ^ {n, 1} [/ math] en un espacio compacto para ayudar a caracterizar los detalles. Veamos primero la imagen (de [1]): 
La forma de obtener las coordenadas explícitas para este Diagrama de Penrose es la siguiente:
- Comience con [math] ds _ {\ mathbb {R} ^ {1,1}} ^ 2 = -dt ^ 2 + dx ^ 2 [/ math], con [math] x, t \ in \ mathbb {R} [ /matemáticas].
- Defina las coordenadas lightcone [math] u _ {\ pm} = t \ pm x [/ math].
- Tenga en cuenta que [math] du _ {\ pm} = dt \ pm dx [/ math] entonces [math] du _ {+} \ otimes du _ {-} = dt ^ 2 – dx ^ 2 [/ math] para que [math] ds _ {\ mathbb {R} ^ {1,1}} ^ 2 = -du _ {+} du _ {-} [/ math]
- Ahora defina una coordenada [math] \ tilde {u} _ {\ pm} [/ math] por [math] u _ {\ pm} = \ tan \ tilde {u} _ {\ pm} [/ math].
- Para cambiar las coordenadas necesitamos calcular [matemáticas] \ frac {\ partial u _ {\ pm}} {\ partial \ tilde {u} _ {\ pm}} = \ sec ^ 2 \ tilde {u} _ {pm} [ /matemáticas].
- Por lo tanto:
[matemáticas] ds ^ 2 = -du _ {+} du _ {-} = – \ left (\ frac {\ partial u _ {+}} {\ partial \ tilde {u} _ {+}} \ right) \ left ( \ frac {\ partial u _ {-}} {\ partial \ tilde {u} _ {-}} \ right) d \ tilde {u} _ {+} d \ tilde {u} _ {-} [/ math]
[matemáticas] = – \ sec ^ 2 \ tilde {u} _ {+} \ sec ^ 2 \ tilde {u} _ {-} d \ tilde {u} _ {+} d \ tilde {u} _ {- } [/matemáticas] - Finalmente, cambie a las coordenadas [matemáticas] \ tau, \ theta [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ tilde {u} _ {\ pm} = \ frac {\ tau \ pm \ theta} {2} [/ matemáticas] . Esto da la métrica,
[matemáticas] ds ^ 2 = \ frac {1} {4} \ sec ^ 2 \ tilde {u} _ + \ sec ^ 2 \ tilde {u} _- (-d \ tau ^ 2 + d \ theta ^ 2 )[/matemáticas]
Si realiza sus cálculos en estas coordenadas, el diagrama de Penrose debería simplificar la imagen.
El análogo más cercano a una inclusión isométrica de [math] \ mathbb {R} ^ {1,1} [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ {3,0} [/ math] es el espacio Anti de Sitter [matemáticas] AdS_n [/ matemáticas] [2]. Consideremos el espacio en un número arbitrario de dimensiones para que la definición esté algo motivada.
Para empezar, el espacio Anti de Sitter [math] AdS_2 [/ math] es localmente equivalente a [math] \ mathbb {R} ^ {1,1} [/ math] [2]. [math] AdS_n [/ math] se define como la ‘esfera’ en [math] \ mathbb {R} ^ {p, q + 1} [/ math], donde la definición de una esfera es “conjunto de puntos de constante distancia métrica desde el origen “.
Como tal, [math] AdS_2 [/ math] se define como el locus cero del polinomio,
[matemáticas] – x_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 – x_2 ^ 2 = – \ alpha ^ 2, \ alpha \ in \ mathbb {R}, (x_0, x_1, x_2) \ in \ mathbb {R} ^ {1, 2} [/ matemáticas]
Ahora podemos elegir coordenadas lightcone [matemáticas] u = \ frac {1} {\ alpha ^ 2} (x_0 – x ^ 1), v = \ frac {1} {\ alpha ^ 2} (x_0 + x ^ 1) [/matemáticas]. Esto corresponde a rotar nuestra base de modo que [math] u, v [/ math] estén en el lightcone. Siguiendo la prescripción en [3], si definimos la coordenada [matemáticas] z = \ frac {1} {u}, t = \ frac {x ^ 1} {\ alpha u}, \ tilde {x} = \ frac { x ^ 0} {\ alpha u} [/ math], podemos escribir la métrica de Poincaré en [math] AdS_2 [/ math] como:
[matemáticas] ds ^ 2 = \ frac {1} {z ^ 2} (dt ^ 2 – dz ^ 2 – d \ tilde {x} ^ 2) [/ matemáticas]
Esto se parece mucho a la métrica de Minkowski. De hecho, si [math] z = \ text {const.} [/ Math], entonces tenemos la métrica de Minkowski. Se dice que una métrica [matemática] ds ^ 2 [/ matemática] en una variedad [matemática] M [/ matemática] es conforme a una métrica [matemática] d \ tilde {s} ^ 2 [/ matemática] si existe una función suave [matemática] f: M \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] ds ^ 2 = fd \ tilde {s} ^ 2 [/ math]. En este caso, nuestra métrica es conforme a la métrica de Minkowski (aunque para [math] \ mathbb {R} ^ {2,1} [/ math]), con [math] f = \ frac {1} {z ^ 2} [/ matemáticas]. Resulta que este espacio se puede incrustar en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]:
Esta imagen es un poco poco esclarecedora, porque es difícil ver cómo relacionarse con la relatividad especial. Sin embargo, dice mucho sobre las distancias en la relatividad general, ya que las geodésicas temporales son aquellos círculos que giran radialmente alrededor de este hiperboloide. Resulta que así como la compactación de un punto de [math] \ mathbb {R} ^ {n, 0} [/ math] es [math] S ^ n [/ math], la compactación de un punto de [math ] \ mathbb {R} ^ {p, 2} [/ math] es [math] AdS_n [/ math].
¡Espero que esto te dé alguna dirección sobre dónde empezar a buscar!
[1] http://arxiv.org/abs/hep-th/9905111
[2] Estoy usando la definición que usa la mayoría de los físicos.
[3] http: //www.mathematics.thetangen…
